Relación experimental entre dependencia lineal y superposición

Question

De Griffith, en Introducción a la Electrodinámica

El principio de superposición, que puede parecer obvio, pero no tiene que ser tan simple: si la fuerza electromagnética fue proporcional al cuadrado de la fuente de carga, por ejemplo, el principio de superposición no, ya $\left(q_1+q_2\right)^2\ne q_1^2 + q_2^2$ (habría cruz términos a tener en cuenta). Superposición no es una necesidad lógica, sino un hecho experimental.

Estoy confundido en cuanto a por qué es importante que la fuerza electromagnética debe dependen linealmente de cobrar por el principio de superposición para celebrar. Supongo que es como fue el caso de que la fuerza electromagnética dependía de la plaza de la carga. Entonces, la definición de una nueva cantidad "squarecharge" $k = q^2$, fuerza electromagnética depende linealmente de "squarecharge", y, por lo tanto, la superposición no?

Dicho de otra manera, cada objeto con carga en $q$ tiene asociada una cantidad $m = q^{1/3}$. Supongamos que $m$ es de la forma más natural de medir que la $q$, por lo tanto se utiliza en lugar de $q$ en todas las fórmulas. Entonces, aunque las fuerzas electromagnéticas son proporcionales al cubo de la $m$, superposición, que aún se mantiene.

Answer 1

Supongamos que tenemos una fuente de partículas y una prueba de partículas a una distancia de $r$ unos de otros. Sobre la medición de la fuerza en la prueba de partículas, nos encontramos con algunos de valor de $F_\text{one source}$. Variando la distancia, descubrimos que depende de la inversa de la distancia al cuadrado:$$F_\text{one source}=\frac{C}{r^2},$$ where $C$ es sólo una constante. (No se 'carga' aparece aquí porque no hemos introducido el concepto de carga.)

Ahora vamos a traer una fuente adicional de las partículas, que es idéntica a la original, y colóquelo en la parte superior derecha de la original. De nuevo, podemos medir la fuerza, pero ahora le llamamos $F_\text{two sources}$. Cómo es esta nueva fuerza relacionados con la original? No tenemos ni idea, porque no he dicho nada acerca de las partículas o la naturaleza de las fuerzas.

Supongamos ahora es un hecho experimental de que la fuerza se duplica:$$F_\text{two sources}=2F_\text{one source}=\frac{2C}{r^2}=\frac{C}{r^2}+\frac{C}{r^2}.$$ Aquí, la posibilidad de superposición que existe. He hecho la superposición de la parte (donde se acaba de sumar la contribución debida a cada una de las fuentes por separado) muy explícito.

Ahora, supongamos que en lugar de la fuerza de doblado, la fuerza pasó a cuádruple:$$F_\text{two sources}=4F_\text{one source} = \frac{4C}{r^2}\ne\frac{C}{r^2}+\frac{C}{r^2}.$$

Por lo tanto, si la fuerza no se doble cuando se agrega otro idéntico origen de las partículas, la superposición no sería posible. No importa cómo termine 'expansión' $C$: si usted trata de $C=C'q$ o $C=C'q^2$, usted no puede conseguir las matemáticas para trabajar (es decir, usted no puede obtener la fuerza neta sobre su examen de las partículas a ser la suma de las fuerzas individuales).

Este segundo ejemplo (donde la fuerza de cuadruplicado) es un ejemplo de lo que Griffiths decir cuando dice: "...proporcional al cuadrado de la fuente de carga." Uno podría decir $F_\text{two sources}=(C+C)^2/r^2$ y obtener el derecho de expresión por la fuerza, pero no podía, a continuación, ir y escribir la fuerza mediante la superposición.