Límite inversa en la geometría métrica

Question

Pregunta. ¿Has visto alguna vez la inversa límites a usar (o, incluso, en serio) en cualquier lugar en la geometría métrica (pero NO en la topología)?

La definición de límite inversa para la métrica de los espacios es la siguiente. (Es habitual límite inversa en la categoría con la clase de objetos formados por la métrica de los espacios y de la clase de morfismos formado por corto mapas.)

Definición. Considere la posibilidad de una relación inversa sistema de espacios métricos $X_n$ corto y mapas de $\phi_{m,n}:X_m\to X_n$$m\ge n$; es decir,(1) $\phi_{m,n}\circ \phi_{k,m}=\phi_{k,n}$ para cualquier triple a $k\ge m\ge n$ y (2)$n$, el mapa de $\phi_{n,n}$ es mapa de identidad de $X_n$.

Un espacio métrico $X$ se llama límite inversa del sistema de $(\phi_{m,n}, X_n)$ si su subyacente espacio se compone de todas las secuencias $x_n\in X_n$ tal que $\phi_{m,n}(x_m)=x_n$ todos los $m\ge n$, y para cualquiera de las dos secuencias de $(x_n)$ $(y_n)$ la distancia se define por

$$ | (x_n) (y_n)| = \lim_{n\to\infty} | x_n y_n | .$$

Por qué: tengo un teorema, con un poco de trampa puede manifestó de esta manera: La clase de métrica espacios que admitir ruta-isometrías para Euclidiana $d$-espacios coincide con la clase de inversa de los límites de $d$-poliédrica espacios. En el papel escribo: parece ser el primer caso cuando inversa límites de ayuda para resolver un problema naturales en la geometría métrica. Pero no puedo estar seguro al 100%, y si estoy equivocado, todavía tengo tiempo para cambiar esta frase.

Answer 1

Este papel por el P. E. Caprace, utiliza un "refinado límite" de un GATO(0) en el espacio. Este límite se construye de la siguiente manera : dado un punto de $\xi$ en el límite en el infinito de su espacio de $X$, construir un punto de $X_\xi$, que es el límite inversa de la horoballs centrado en $\xi$. Aquí los mapas $\phi_{m,n}$ el GATO(0) proyecciones. A continuación, el espacio $X_\xi$ es en sí mismo GATO(0), y se puede recorrer en la construcción. Bajo hipótesis razonables, la construcción se detiene después de un número finito de pasos, y el refinado límite es la unión de todos los espacios que usted consigue.

(En el caso de los simétrica espacios, esta construcción ha sido ya considerada por Karpelevic en 1965, pero con diferentes definiciones, y no creo que él vio como la inversa de los límites).

Answer 2

Echa un vistazo a este papel de Irwin y Solecki que, creo, es relevante a su pregunta. Se utiliza un modelo teórico de la lengua para la inversa de los límites (proyectiva Fraisse límites) y el uso de esta maquinaria para derivar una prueba de la surjective universalidad de la pseudo-arco entre encadenable continua.

El papel ha aparecido en: Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 358 (2006), 3077-3096.

Answer 3

No estoy seguro, si usted todavía está buscando un ejemplo, y si usted siente que mis ejemplos son artificiales.

Cada localmente compacto, casi conectado grupo es un proyectiva límite de la Mentira grupos, en particular, de un proyectiva límite de metrizable grupos. El límite se convierte en metrizable sí, si y sólo si el límite es contable. Hay un libro por Hofmann y Morris acerca de pro-Liegroups, que los estudios proyectivos de los límites de la Mentira de los grupos.

También el espacio vectorial $C_b^\infty(X) = \cap_k C_b^k(X)$ de lisa delimitadas las funciones es un proyectiva límite de la normativa de los espacios.

Answer 4

Me sorprendería si hay alguna aplicaciones, por la sencilla razón de que su definición de límite inversa para la métrica de la geometría no se traducen bien en la topología. Es fácil desconectar puntos en el límite de que no se desconecta en los términos.

Por ejemplo, fijar un espacio métrico (X, d) y definir (X_n, d_n) = (X, 2ⁿd), con φ_{m, n} de la identidad en el conjunto subyacente X. A continuación, el límite inversa habría conjunto subyacente X (esencialmente), pero d_∞(x, y) = ∞, a menos que x = y.

Vamos a pensar en ello, esto parece proporcionar un contraejemplo a su declaración, ya que el espacio subyacente podría ser fácilmente un poliedro (con innumerables conjunto subyacente), mientras que cualquier conjunto discreto que se incorpora a R^d es en la mayoría de los contables.

(No importa, veo en el papel que asume el espacio para ser embebido es compacto.)