Es $<\mathbb Q^+, \times>$ el grupo abeliano libre sobre un número contablemente infinito de generadores?

Question

Me parece que tiene sentido que así sea, siendo los generadores el conjunto de los primos. Sin embargo, no estoy seguro de que mi intuición sea correcta.

Además, ¿no se contradice esto con el hecho de que $2\times3\times5\times7\times11\times13...$ no es un racional positivo?

Answer 1

A menos que me esté perdiendo algo obvio, esto debería ser cierto. No estoy seguro de lo que quiere decir con $2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13...$ no ser un racional positivo. En el entorno de la teoría de grupos sólo consideramos finito palabras en los generadores. Para decirlo de otra manera, el grupo abeliano libre sobre algún conjunto $\Lambda$ es isomorfo a

$$\bigoplus_{\lambda \in \Lambda} \mathbb{Z}$$

No

$$\prod_{\lambda \in \Lambda} \mathbb{Z}$$

Es decir, los elementos son tuplas con sólo un número finito de entradas no triviales.

Si te refieres a que el producto infinito se evalúa mediante algún tipo de argumento de regularización zeta (que produce $4\pi^2$ ), entonces esto no es un problema porque esos tipos de argumentos ocurren en un escenario muy diferente donde consideramos todo sentado en el escenario analítico complejo y luego usamos varias técnicas para crear formas algo exóticas de evaluación de series, pero esta no es una evaluación que tenga sentido incluso en el sentido topológicamente enriquecido, y ciertamente no en el sentido de grupo.

Answer 2

Sí, los números primos generan los racionales positivos bajo la multiplicación: todo elemento puede escribirse como producto de potencias de primos (corolario de existencia de las factorizaciones primarias), y no satisfacen ninguna relación multiplicativa (corolario de singularidad de las factorizaciones primos) por lo que es generada libremente por ellos. El grupo abeliano libre generado por un conjunto no incluye productos infinitos de elementos del conjunto, sólo productos finitos, por lo que no hay contradicción en $2\times3\times5\cdots\not\in\Bbb Q$ .