Descomposición irreducible de tensores de orden superior

Question

Estoy familiarizado con la noción de irreps. Mi pregunta se refiere simplemente a las representaciones tensoriales (no a los productos tensoriales de las representaciones) y cómo podemos descomponerlas en partes irreductibles. Por ejemplo, un tensor de rango 2 se descompone en una parte antisimétrica, una simétrica sin traza y su traza. ¿Cuál es la generalización de esto para los tensores de mayor rango? ¿Podría alguien proporcionar un ejemplo para, digamos, el rango 3 o 4? Gracias

Answer 1

Cuando se dice tensor también es necesario especificar cuál es el grupo/álgebra del que es un tensor. Que hayas dicho que el rango dos se descompone en simétrico, antisimétrico y traza, creo que tienes en mente $so(d)$ o $sp(2m)$ . Para $gl(d)$ no hay rastro. En cualquier caso, sorprendentemente, la descomposición de un rango- $k$ tensor que no tienen simetrías a priori es equivalente a calcular $\otimes^k V$ , donde $V$ es una representación vectorial.

Por ejemplo, tome $T^{ab|c}$ de $so(d)$ y suponer que es, digamos, simétrica y sin trazos en $ab$ (sabemos cómo descomponer los tensores de rango dos). Entonces se encuentra $T^{ab|c}=S^{abc}+H^{ab,c}+\left(\eta^{ac}V^b+\eta^{bc}V^a-\frac2d \eta^{ab}V^c\right)$ donde $S^{abc}$ es totalmente simétrica y sin trazos. $V^a$ parametriza la traza $T^{ab|c}\eta_{bc}$ y $H^{ab,c}$ no tiene trazas y obedece a $H^{ab,c}+H^{bc,a}+H^{ca,b}\equiv0$ . $H$ no es totalmente simétrica ni antisimétrica, tiene una simetría mixta.