Contraejemplo del lema de Zorn cuando solo tomamos cadenas contables

Question

Estaba aprendiendo el lema de Zorn ayer y no pude encontrar ningún ejemplo, donde el lema de Zorn falla cuando solo requerimos que cada cadena contable en P tenga un elemento máximo en P. ¿Alguien sabe un ejemplo?

Answer 1

Considere la posibilidad de la colección de contables de subconjuntos de a $\Bbb R$, ordenados por inclusión.

Cada contables de la cadena tiene una cota superior, ya que el contable de la unión de conjuntos contables es contable; pero no es de "máxima contables subconjunto".

(Es consistente para el axioma de elección a fallar y $\Bbb R$ a ser el contable de la unión de conjuntos contables, en cuyo caso, este ejemplo no es un contraejemplo; y lo mismo va para los de Brian ejemplo. Pero si el axioma de elección falla que mal, luego hay otros contraejemplos a su pregunta.)

Answer 2

El primer ordinal incontable,$\omega_1$, es un ejemplo: cada subconjunto contable de$\omega_1$ tiene un límite superior mínimo en$\omega_1$, pero$\omega_1$ no tiene elemento máximo.