Superficies de revolución de curvatura gaussiana constante

Question

Quisiera ayuda con la siguiente pregunta:

Demostrar que todas las superficies de revolución $(\phi(v) \cos u ,\phi(v) \sin u,\psi(v)) $ de curvatura gaussiana constante $k = -1$ es uno de los siguientes tipos:

1. $\phi(v)=C\cosh v$ y $\psi(v)=\int_0^v \sqrt{1-C^2\sinh^2v} dv$

2. $\phi(v)=C\sinh v$ y $\psi(v)=\int_0^v \sqrt{1-C^2\cosh^2v} dv$

3. $\phi(v)=e^v$ y $\psi(v)=\int_0^v \sqrt{1-e^{2v} dv}$

Supongamos que $(\phi')^2+(\psi')^2=1$ y sabes que $\phi''+k\phi= 0$

gracias

Answer 1

Utilización de la fórmula habitual de la curvatura de Gauss sobre la forma de la superficie de revolución que has presentado da como resultado la expresión

$$\frac{\psi^\prime (v)(\psi^{\prime\prime}(v) \phi^\prime (v)-\psi^\prime (v)\phi^{\prime\prime}(v))}{\phi(v)\left(\psi^\prime (v)^2+\phi^\prime (v)^2\right)^2}$$

Con uno de sus supuestos, esto se simplifica a

$$\frac{\psi^\prime (v)}{\phi(v)}(\psi^{\prime\prime}(v) \phi^\prime (v)-\psi^\prime (v)\phi^{\prime\prime}(v))=-1$$

Ya has dicho que sabes que $\phi$ satisface $\phi^{\prime\prime}+k\phi=0$ resuelve esa ecuación diferencial y sustituye la(s) solución(es) de esa ecuación diferencial en la ecuación diferencial que has obtenido a partir de la expresión de la curvatura de Gauss.