Ejemplo de un ideal fraccional no invertible

Question

Estoy dando una charla de seminario sobre el grupo de clase ideal y estoy buscando un ejemplo de un ideal fraccional que no es inversible. Sé de un ejemplo simple de decir $k[x,y]$ o $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$. Estos ejemplos deben existir pero cómputo allí es muy difícil.

Gracias.

Answer 1

Un ideal fraccional es invertible, el fib es un módulo proyectivo. Para encontrar un ejemplo de un no invertible, uno es por lo tanto suficiente para presentar un ejemplo de un ideal que no es proyectiva.

Un ejemplo sencillo es el ideal de la $(x,y)$$R=k[x,y]$.

Veamos este ideal no es proyectiva "a mano", mostrando que el natural mapa de $\phi:(a,b)\in R\oplus R\mapsto ax+by\in (x,y)$, que es surjective, no admite una sección de $\psi:(x,y)\to R\oplus R$. Supongamos lo contrario, es decir, que hay un $\psi$, y dejamos $\psi(x)=(f,g)$$\psi(y)=(r,s)$. Tenemos $0=\psi(xy-yx)=x\psi(y)-y\psi(x)$, por lo que el$yf=xr$$yg=xs$. De ello se desprende que $r$ $s$ son múltiplos de $y$, e $f$ $g$ son múltiplos de $x$. Ahora, como $\phi\circ\psi$ es el mapa de identidad de $(x,y)$,$x=\phi(\psi(x))=\phi(f,g)=xf+gy$, pero ahora sabemos que $xf+gy$ es en el ideal de $(x^2,y)$, que no contenga $x$: esto es imposible.

Answer 2

Sugerencia: Considere el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$. Ya que es una orden no máxima en el % de dominio de Dedekind $\mathbb{Z}[\varphi]$, lo que debe no ser cerrado integralmente y así debe tener un ideal fraccional no inversible.

Para realmente encontrar uno, puede ser un buen lugar para comenzar en $I=(2)$ (¿por qué?). De hecho, que $\mathfrak{P}=(2,1-\sqrt{5})$. Mostrar que $\mathfrak{P}$ es máxima (sólo computar el anillo cociente). Entonces mostrar que $\mathfrak{P}\ne I$, pero

$$\mathfrak{P}^2=I\mathfrak{P}$$