Significado geométrico de $H=\langle x, \nu \rangle$

Question

$M$ es un $n$ -de una variedad lisa y sin límites. $F: M \rightarrow \mathbb R^{n+1}$ es una incrustación suave. $A$ es la segunda forma fundamental , y $H$ es la curvatura media. $\nu$ es el vector normal. $x$ es el vector de posición. Si $$ H=\langle x, \nu \rangle \tag{1} $$ es fácil ver que el hiperplano, la esfera y el cilindro satisfacen la ecuación. Pero no sé si hay otros colectores que satisfagan esta ecuación, especialmente, colectores con curvatura media negativa.

En el comportamiento asintótico de Huisken para las singularidades, demuestra que si $M$ , $n\ge 2$ es compacto con curvatura media no negativa $H$ y satisfacen (1), entonces $M$ es una esfera de radio $\sqrt n$ .

Parte de esta prueba consiste en demostrar $\frac{|A|^2}{H^2}$ es constante. No sé por qué sabe calcular esta cantidad. Exactamente, esta cantidad tiene principio de máxima. ¿Hay algún punto de vista geométrico?

Por último, supongo que la esencia geométrica de (1) es la curvatura principal de debe ser constante o cero, ¿verdad?

Answer 1

Para simplificar la notación, sólo considero el siguiente caso: Sea $M$ ser un $m$ -submanifold riemanniano de $\mathbf{R}^m$ . Fijar cualquier vector $\vec{v}\in\mathbf{R}^{m+1}$ consideraremos la función de valor real $f=\langle\mathrm{id},\vec{v}\rangle$ . Ahora arregla $p\in M$ y que $\{e_1,\dots,e_m\}$ sea un marco geodésico en una vecindad de $p$ . Dejemos que $\vec{N}$ sea el marco normal local en la misma vecindad de $p\in\mathbf{R}^{m+1}$ . Recordemos ahora que el operador de Laplace-Beltrami en coordenadas geodésicas viene dado por $$\Delta g = \sum_{i=1}^{m}e_i(e_i(g)),\qquad g\in\mathscr{C}^\infty(M).$$ Obsérvese que para algún vector $x\in T_pM$ que $df_p(x)=\langle x,v\rangle$ . Esto nos sirve para calcular $$\Delta f = \Delta\langle\mathrm{id},\vec{v}\rangle = \sum_{i=1}^{m}e_i(e_i\langle \mathrm{id},\vec{v}\rangle) = \sum_{i=1}^{m}e_i(df(e_i)) = \sum_{i=1}^{m}e_i\langle e_i,\vec{v}\rangle.$$ Ahora utilizamos la compatibilidad de la conexión Levi-Civita, $\overline\nabla$ de $\mathbf{R}^{m}$ con la métrica euclidiana $\langle\cdot,\cdot\rangle$ para obtener $$\sum_{i=1}^{m}e_i\langle e_i,\vec{v}\rangle = \sum_{i=1}^{m}\langle\overline\nabla_{e_i}e_i,\vec{v}\rangle + \langle e_i,\overline\nabla_{e_i}\vec{v}\rangle = \sum_{i=1}^{m}\langle\overline\nabla_{e_i}e_i,\vec{v}\rangle=\sum_{i=1}^{m}\langle\nabla_{e_i}e_i,\vec{v}\rangle+\langle \mathsf{II}(e_i,e_i),\vec{v}\rangle,$$ donde $\mathsf{II}$ es la forma fundamental de segundo valor vectorial. Ahora bien, como $e_i$ se eligió un marco geodésico en $p$ tenemos $\nabla_{e_i}e_i(p)=0$ y así $$\sum_{i=1}^{m}\langle\nabla_{e_i}e_i,\vec{v}\rangle+\langle \mathsf{II}(e_i,e_i),\vec{v}\rangle=\sum_{i=1}^{m}\langle \mathsf{II}(e_i,e_i),\vec{v}\rangle=mH\langle{N,\vec{v}}\rangle.$$ Así que hemos demostrado que $$\Delta\langle{\mathrm{id},\vec{v}}\rangle=mH\langle{N,\vec{v}}\rangle.$$ Ahora, aplicando este resultado donde $\vec{v}=x_i$ son los vectores unitarios estándar de $\mathbf{R}^{m+1}$ encontramos que $$\Delta\mathrm{id}=mH\vec{N}.$$ Generalizar este resultado a un submanifold isométricamente inmerso no supone mucho más trabajo. Esto proporciona una relación muy general entre el vector de curvatura media y un submanifold del espacio euclidiano. En particular, recuperamos la relación entre la curvatura media y $\langle x,\nu\rangle$ de la esfera presentada en su problema.