separación de variables Resolver y probar

Question

Usando la separación de variables Resuelve$$\frac{dy}{dx} = 3y +1.$ $ Mi respuesta final que obtuve fue:$$y = \pm C \frac{e^x}{3} - \frac{1}{3}.$ $

Pero no sé cómo tomar la derivada de eso para volver a mi problema original

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que una constante dividido por $3$ es sólo una constante, por lo que se puede reescribir lo que tiene sin la fracción. También, más o menos una constante es sólo una constante. Por lo que podría volver a escribir la solución como $$y = Ce^x - \frac{1}{3}.$$

Para comprobar, usted acaba de tomar la derivada: $C$ es una constante, por lo que $$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(Ce^x - \frac{1}{3}\right) = C\frac{d}{dx}e^x - \frac{d}{dx}\frac{1}{3} = Ce^x.$$

Luego de calcular $3y + 1 = 3Ce^x - 1 + 1 = 3Ce^x$.

Este es no es el mismo que $\frac{dy}{dx}$, por lo que esta no es una respuesta correcta.

Y, no, no era mi "simplificaciones" que hizo usted en: $$\frac{d}{dx}\left( \pm \frac{Ce^x}{3} - \frac{1}{3}\right) = \pm\frac{C}{3}\frac{d}{dx}e^x = \pm\frac{C}{3}e^x,$$ y $$3\left(\pm\frac{Ce^x}{3}-\frac{1}{3}\right) + 1 = \pm Ce^x\neq \pm\frac{Ce^x}{3}.$$

Así que, de hecho, que hizo un error en su derivación.

De $$\frac{dy}{dx} = 3y+1,$$ debemos considerar la posibilidad de que $3y+1=0$; esto ocurrirá si $y=-\frac{1}{3}$; que es una posible solución.

Si $3y+1\neq 0$, luego de la separación de variables obtenemos $$\frac{dy}{3y+1} = dx,$$ y la integración de ambos lados, tenemos $$\int\frac{dy}{3y+1} = \int\,dx.$$ Para hacer la integral de la izquierda, dejamos $u=3y+1$; a continuación,$du = 3dy$, lo $\frac{1}{3}du = dy$. Por lo tanto $$\int\frac{dy}{3y+1} = \int\frac{\frac{1}{3}du}{u} = \frac{1}{3}\int\frac{du}{u} = \frac{1}{3}\ln|u|+C = \frac{1}{3}\ln|3y+1|+C;$$ así, la consolidación de las constantes, tenemos: $$\begin{align*} \int\frac{dy}{3y+1} &= \int\,dx\\ \frac{1}{3}\ln|3y+1| &= x+C&&C\text{ an arbitrary constant}\\ \ln|3y+1| &= 3x + D&&D\text{ an arbitrary constant}\\ e^{\ln|3y+1|} &= e^{3x+D}\\ |3y+1| &= e^De^{3x}\\ |3y+1| &= Ae^{3x} &&A\text{ a positive constant}\\ 3y+1 &=\pm Ae^{3x} &&A\text{ a positive constant}\\ 3y+1 &= Be^{3x} &&B\text{ a non-zero constant}\\ 3y &= Be^{3x} - 1\\ y &= \frac{B}{3}e^{3x} - \frac{1}{3}\\ y &= Ke^{3x} - \frac{1}{3} &&K\text{ a non-zero constant} \end{align*}$$ Me puse a $D=3C$, siendo una constante,$A=e^D$, una positiva constante (debido a $e^D$ siempre es positivo); a continuación,$B=\pm A$, un valor distinto de cero constante (debido a $A$ nunca es cero, por lo $B$ nunca es cero); y, finalmente,$K=\frac{B}{3}$, un valor distinto de cero constante (debido a $B$ nunca es cero).

Tan ponerlo junto con el caso especial considera que antes, tenemos que las soluciones son: $$\text{Either }y=-\frac{1}{3}\quad\text{or}\quad y = Ke^{3x}-\frac{1}{3}\text{ with }K\text{ non-zero.}$$ Entonces podemos darnos cuenta de que si permitimos $K=0$, luego tenemos el caso especial, por lo que podemos resumir los dos casos diciendo $$ y = Ke^{3x} - \frac{1}{3},\quad K\text{ an arbitrary constant.}$$

Ahora tome derivados y enchufe para comprobar que esto es correcto.