Si la expectativa$\langle v,Mv \rangle$ de un operador es$0$ para todo$v$ es el operador$0$?

Question

Me encontré con esto un tiempo atrás y convencido de que mi auto que era cierto para todos finito dimensionales espacios vectoriales con complejo de los coeficientes. Mi pregunta es hasta qué punto podía confiar en este resultado en el caso de infinitas dimensiones. Si hay una circunstancia en la que no es cierto, entonces me gustaría que el correspondiente contador de ejemplo.

La declaración es $$\langle v| \textbf{M} v \rangle = 0 \quad \forall \mid v\rangle \in \mathbb{V} \Rightarrow \textbf{M}=0$$

• $\textbf{M}$ es un operador lineal en $\mathbb{V}$.
• $\mathbb{V}$ es un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{C}$.

En el caso de dimensiones finitas, podemos ver que esto es cierto por ir a la eigenbasis de $\textbf{M}$. En ese caso, si $\textbf{M} \mid \lambda_i \rangle = \lambda_i \mid \lambda_i \rangle$$\lambda_i \langle \lambda_i \mid \lambda_i \rangle= \langle \lambda_i \mid \textbf{M} \lambda_i \rangle = 0 \quad \forall i$. Esto significa que la diagonal forma de $\textbf{M}$ es la matriz cero. Esto es suponiendo que el eigen vectores de $\textbf{M}$ puede formar una base para el espacio que creo que siempre es verdadera en lo finito dimensional espacios vectoriales con complejo de coeficientes debido al teorema espectral.

Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es cierto en general para todos los espacios vectoriales sobre$\mathbb C$. De hecho, uno puede considerar que$v = x-y$ y$v=x-iy$ crean la identidad$\langle x, My \rangle=0$ para todos$x, y$.