Campo de vector asesino a lo largo de una geodésica

Question

Trataba de mostrar que un campo vectorial de Asesinato satisface la ecuación de Jacobi para una geodésica, simplemente suponiendo que \begin{equation} \nabla_\mu X_\nu + \nabla_\nu X_\mu=0 \end {equation} De hecho, si tomo en cuenta que$[X,\gamma']=0$ es$\gamma$ geodésica, puedo mostrarlo fácilmente sin usar la ecuación de Killing. Sin embargo, no puedo entender cómo probar que el conmutador desaparece al usar esta ecuación.

Answer 1

Supongamos $(M,g)$ es un colector de Riemann, $I\subseteq\mathbb R$ es un intervalo, y $\gamma\colon I\to M$ es una geodésica. Un suave mapa de $F\colon I\times (-\varepsilon,\varepsilon)\to M$ se denomina "variación de $\gamma$." Un cálculo estándar muestra que si $F$ es una variación a través de geodesics (lo que significa que $s\mapsto F(s,t)$ es una geodésica para cada una de las $t$), su campo de variación $V(s) = \partial F(s,t)/\partial t|_{t=0}$ es un campo de Jacobi. (Ver Teorema 10.2 en mi Geometría de Riemann.)

Ahora si $X$ es un campo de muerte y $\theta$ es su flujo, a continuación, para cada una de las $t\in(-\varepsilon,\varepsilon)$, el diffeomorphism $\theta_t$ toma geodesics a geodesics. Por lo tanto $F(s,t) = \theta_t(\gamma(s))$ es una variación a través de geodesics, por lo que su campo de variación $V(s) = X(\gamma(s))$ es un campo de Jacobi.

Answer 2

Yo sigo creyendo que no hay buen sentido puede ser de $[X, \gamma'] = 0$. Sin embargo, haciendo caso omiso de esta, he suministrado a continuación una prueba de que la Matanza de los campos son de Jacobi. Mi método de prueba de que era sólo "calcular hasta que el resultado deseado se cae". En particular, me ofrecen ninguna garantía de que no hay una mejor manera.

Rápido convenciones: Mi tensor de curvatura de la convención es $$ R(X, Y)Z = \nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X,Y]} Z $$ lo que hace que la ecuación de Jacobi $$ D_t^2 J + R(J, \dot{\gamma}) \dot{\gamma} = 0. $$ La condición para $X$ siendo un campo de Jacobi es que $$ \langle \nabla_Y X, Z \rangle = - \langle Y, \nabla_Z X \rangle \etiqueta{1} $$ para todos los campos vectoriales $Y, Z$. Establecimiento $Y = Z$, uno ve que esto también implica $$ \langle \nabla_Y X, Y \rangle = 0 \etiqueta{2} $$ para cualquier $Y$.

La prueba de que la Matanza de los campos son de Jacobi. Deje $\Gamma$ ser de cualquier extensión de $\gamma'$, y deje $Y$ ser cualquier campo vectorial. Esto es suficiente para mostrar que $$ \langle \nabla_\Gamma \nabla_\Gamma, X + R(X, \Gamma)\Gamma, Y \rangle = 0 $$ para los puntos en la línea geodésica.

Tenemos \begin{align} \langle \nabla_\Gamma \nabla_\Gamma X, Y \rangle &= \Gamma \langle \nabla_\Gamma X, Y \rangle - \langle \nabla_\Gamma X, \nabla_\Gamma Y \rangle \\ &= \Gamma \langle \Gamma, \nabla_Y X \rangle - \langle \Gamma, \nabla_{\nabla_\Gamma Y} X \rangle \\ &= \langle \Gamma, \nabla_\Gamma \nabla_Y X - \nabla_{\nabla_\Gamma Y} X \rangle. \tag{3} \end{align} (En la última ecuación que hemos utilizado a lo $\nabla_\Gamma \Gamma = 0$, lo cual sólo es cierto a lo largo de la línea geodésica; no deseo para el desorden de la notación de cualquier mostrando estas expresiones tal como se evaluó en puntos de $\gamma(t)$, pero es implícita.)

En el otro lado \begin{align} \langle R(X, \Gamma)\Gamma, Y \rangle &= -\langle R(Y, \Gamma)X, \Gamma \rangle \\ &= \langle \nabla_Y \nabla_\Gamma X - \nabla_\Gamma \nabla_Y X - \nabla_{[Y, \Gamma]} X, \Gamma \rangle. \tag{4} \end{align} La adición de $(3)$$(4)$, y el uso de $\nabla_\Gamma Y + [Y, \Gamma] = \nabla_Y \Gamma$, obtenemos \begin{align} \langle \nabla_\Gamma \nabla_\Gamma X + R(X, \Gamma)\Gamma, Y \rangle &= \langle \Gamma, \nabla_Y \nabla_\Gamma X - \nabla_{\nabla_Y \Gamma} X \rangle. \tag{5} \end{align} Pero $$ \langle \Gamma \nabla_Y \nabla_\Gamma X \rangle = Y \langle \Gamma \nabla_\Gamma X \rangle - \langle \nabla_Y \Gamma \nabla_\Gamma X \rangle = -\langle \nabla_Y \Gamma \nabla_\Gamma X \rangle, $$ el primer término de fuga debido a $(2)$, mientras que $$ \langle \Gamma \nabla_{\nabla_Y \Gamma} X \rangle = -\langle \nabla_\Gamma, X, \nabla_Y \Gamma \rangle $$ por $(1)$.

Por lo tanto $(5)$ se reduce a cero, que es lo que queríamos demostrar.