Discriminante en $\mathbb{Z}$

Question

¿Dado un % polinomio monic $f \in \mathbb{Z}[X]$, me gustaría considerar el ideal $$(f, f')_{\mathbb{Z}[X]} \cap \mathbb{Z}$$ in $ \mathbb{Z}$. In particular: is it true that this is generated by the discriminant $\Delta(f)$?

Al menos sé que $\Delta(f)$ se contiene en este ideal.

Answer 1

No.

Tome$f(x)=x^2+1$ como un ejemplo. Luego$f'(x)=2x$ y$2=2f(x)-xf'(x) \in (f,f')_{\Bbb Z[X]} \cap \Bbb Z$, pero$\Delta(f)=-4$.