Cuántas soluciones de $ x+y+z+t = 7 $

Question

Tengo una ecuación: $ x+y+z+t = 7$. ¿Quiero saber cuántas soluciones tiene esta ecuación? $x,y,z$, y $t$ son enteros positivos. No tengo ni idea cómo solucionar el problema. ¿Puede por favor ayudarme a resolver esta cuestión?

Answer 1

Este es el clásico de las estrellas y las barras de la combinatoria pregunta.

Tenemos que encontrar 4 números, es decir, 4-tuplas de números enteros positivos tales que su suma es 7. Por lo que el número de la solución es:

$$\binom{k-1}{n-1}$$

Donde $k$ es la suma de los mismos y $n$ es el número de términos en la suma. Así que para nuestro caso tenemos:

$$\binom{7-1}{4-1} = \binom{6}{3} = 20 \text{ solutions}$$

Tenga en cuenta que algunos de esta solución son permutaciones porque $(x,y,z,y) = (1,2,2,2)$ $(x,y,z,y) = (2,1,2,2)$ se calculan dos veces. Si desea soluciones como estas para ser incluido sólo una vez, no puedo pensar en una mejor manera de contar.

Answer 2

Esto es sólo una sugerencia para ayudarle a comenzar a pensar sobre el problema. Podría ser una forma de cuchilla que ver esto, pero también se puede simplemente contar el número de soluciones. Para empezar $$ 1 + 1 + 1 + 4 = 7 \\ 1 + 1 + 2 + 3 = 7 \\ 1 + 1 + 3 + 2 = 7 \\ 1 + 1 + 4 + 1 = 7 \\ 1 + 2 + 1 + 3 = 7 \\ 1 + 2 + 2 + 2 = 7 \\ \vdots $$

Tal vez un poco más inteligente manera de hacerlo será el primero en notar que $x,y,z,t$ deben ser de $\{1,2,3,4\}$. Luego de averiguar cómo muchas maneras que usted puede agregar estos hasta llegar a $7$. (Nota, por ejemplo, que si un número es $3$, luego el otro, los números tienen que ser $1$ o $2$): $$ 1, 1, 1, 4 \\ 1, 1, 2, 3 \\ 1, 2, 2, 2. \\ $$ Si usted escoge $1,1,1,4$, entonces ¿de cuántas maneras distintas se pueden añadir estas?

Answer 3

$x+y+z+t=7$, pero puesto que son todos enteros escribimos $x=m+1$, $y=n+1$, $z=o+1$ y $t =p+1$ (donde $m,n,o,p$ son números enteros no negativos). Entonces $m+n+o+p=3$. Hay tres opciones. Uno de ellos es $3$ y los otros son $0$. Uno es $2$ y otro es $1$ o tres son $1$.

El primer caso da %#% soluciones de #%, el segundo $4$ (número de pedido pares del subconjunto $12$) y la tercera ${m,n,o,p}$. Por lo tanto hay $4$ soluciones en conjunto.