$E$, $F$ Espacios de Banach, $A: D(A) \subset E \to F$ cerrado densamente definido operador ilimitada, hace $N(A) = R(A^*)$?

Question

Deje $E$ $F$ dos espacios de Banach y deje $A: D(A) \subset E \to F$ ser un cerrado densamente definido ilimitado operador. De lo anterior se sigue que el $N(A) = R(A^*)^\perp$?

La notación. Deje $E$ $F$ dos espacios de Banach. Una desenfrenada lineal operador de $E$ a $F$ es lineal en el mapa de $A: D(A) \subset E \to F$ definido en un lineal subespacio $D(A) \subset E$ con valores en $F$. El conjunto $D(A)$ es llamado el dominio de $A$. También tenemos$$\text{range of }A = R(A) = \{Au : u \in D(A)\} \subset F,\text{ kernel of }A = N(A) = \{u \in D(A) : Au = 0\} \subset E.$$Progress. We probably want to argue by contradiction somehow? Maybe suppose there is some $u \R (^*)^\asesino$ such that$$[u, 0] \notin \{[u, Au] : u \in D(A)\} \subset E \times F$$y aplicar Hahn-Banach? Pero no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

No es necesario tal maquinaria pesada como de Hahn-Banach. Este es un hecho completamente elemental:

Que $J\colon E\times F\to F\times E,\,J(x,y)=(-y,x)$. Es una consecuencia inmediata (más o menos) de la definición de $A^\ast$ que $G(A^\ast)=(J G(A))^\perp$, donde $G(T)$ denota la gráfica del operador $T$.

Entonces tenemos $x\in N(A)$ iff $(x,0)\in G(A)$iff $(0,x)\in JG(A)=(JG(A))^{\perp\perp}=G(A^\ast)^\perp$ iff $x\in R(A^\ast)^\perp$.

Observe que $G(A)$ está cerrado puesto que $A$ está cerrado, y por lo tanto $JG(A)$ está también cerrado y así $(JG(A))^{\perp\perp}=JG(A)$.