Variedades abelianas relativa

Question

Si $A$ es un abelian variedad, tenemos además un mapa de $\mu:A\times A\to A$.

Ahora, supongamos que tenemos una relación abelian variedad $\mathcal{A}\to B$, es decir, los morfismos es plana y adecuada, y para cualquier $b\in B$, $\mathcal{A}_b$ es un abelian variedad.

Podemos definir un morfismos $\mu\colon\mathcal{A}\times_B\mathcal{A}\to\mathcal{A}$ de manera tal que se restringe a la adición mapa sobre cada una de las fibras?

Creo que debería existir al menos localmente, y traté de demostrar su existencia mediante la base de los cambios, pero yo no.

Ingenuamente, espero que la adición de mapas en las fibras de la cola juntos para formar un morfismos pero ya no puedo encontrar un riguroso argumento empiezo a pensar que tal vez sólo existe localmente...?

Para contextualizar la pregunta: me gustaría definir un pariente Pontrjagin producto en $\mathcal{A}$, y fue ingenuamente, tratando de entender si el más fácil de generalización de trabajo.

Muchas gracias!

Answer 1

No sé si esto es cierto en general, pero tengo la sospecha que es falsa.

Sin embargo, si hay una sección de $e:A \to B$ tal que $B_a$ es un abelian variedad con la identidad de la sección $e_a$, entonces es cierto. De hecho, si $A$ está conectado, usted sólo necesita una sola fibra para ser un Abelian variedad. En el capítulo 6 de Mumford - Geométrica de los Invariantes de la Teoría' se encuentra el siguiente resultado (estoy escribiendo esto desde la memoria por lo que puede haber algunos detalles que faltan):

Teorema 6.14: Vamos a $X \to S$ ser un suave adecuado de morfismos con la sección $e:S \to X$ donde $S$ está conectado y localmente Noetherian. Se supone que hay un punto geométrico $s \to S$ tal que $X_s$ es un abelian variedad con la identidad de la sección $e_s$, entonces no es un (único) de la multiplicación $m:X \times_S X$$i:X \to X$, lo $X/S$ en un esquema de grupo con identidad $e:S \to X$. Tenga en cuenta que su morfismos es, de hecho, suave, ya que es plana y tiene fibras lisas (se necesitaría añadir localmente finito de presentación si su base de régimen no está Noetherian).

En general, un adecuado suave esquema de grupo con conectado geométrica) las fibras se llama un Abelian esquema. El capítulo 6 de Mumford del libro desarrolla la teoría básica de un grupo de este tipo de esquemas (por ejemplo, que son conmutativas y la estructura del grupo es único, una vez que la sección de identidad es fija).