En la página 205 de "Curvas Algebraicas Algebraicas de los Colectores y de los Esquemas de" por Shokurov y Danilov, el espacio de la tangente $T_x X$ de una variedad afín $X$ a un punto de $x \in X$ se define como el subespacio de $K^n$ donde $K$ es el campo subyacente, de tal manera que $\xi \in T_x X$ si $(d_x g)(\xi)=0$ cualquier $g \in I$ donde $I$ es el ideal de la $K[T_1,\cdots,T_n]$ que define a $X$ y, por definición,$(d_x g)(\xi)=\sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial T_i}(x) \xi_i$, donde las derivadas parciales son formales. Hasta ahora tan bueno. A continuación, se menciona, que si $f:X \rightarrow Y$ es una de morfismos de afín variedades, entonces obtendremos una bien definida mapa de $d_x f : T_x X \rightarrow T_{f(x)} Y$. ¿Cómo es asignada definido y por qué está bien definida?
Respuestas
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Si $X\subset K^n$ $Y\subset K^m$ son subvariedades afines , el mapa de $f:X\to Y$ es la restricción de algunos polinomio mapa de $F:K^n\to K^m: x\mapsto (F_1(x),...,F_m(x))$, donde el $F_i$'s son polinomios $F_i\in K[T_1,...,T_n]$.
El mapa de $d_x f : T_x X \rightarrow T_{f(x)} Y$ es la restricción a $T_x(X)$ de la lineal mapa dada por el Jacobiano $$d_xF=Jac(F)(x)=(\frac {\partial F_i}{\partial X_j}(x)):K^n\to K^m$$ [The subspace $T_xX \subconjunto K^n$ is the set of solutions of the humongous (but extremely redundant!) system of linear equations $\Sigma \frac {\partial g}{\partial X_j}(x)\xi_j=0$ where $g$ runs through $I(X)$]
La única cosa a comprobar es que tenemos en $K^m$ : $$(d_xf)(T_xX)\subset T_y(Y) $$
Esto significa que debemos demostrar que $$(d_yh)(d_xf(v))=0 \quad (?)$$ for alll $v\en T_xX$ and all $h\in I(Y)$.
Esto se deduce de los dos siguientes hechos:
a) Para todos los $h\in I(Y)$ tenemos $h\circ F\in I(X)$, ya que el $F$ mapas de $X$ a $Y$.
b) Functoriality de la diferencial: $d_x(h\circ F)=d_yh\circ d_xF$ .
Y ahora si $v\in T_xX$ podemos escribir $$(d_yh)(d_xf(v))=(d_yh)(d_xF(v))=d_x(h\circ F)(v)=0$$ since $h\circ F\in I(X)$ . We have thus proved $(?)$
Que $y = f(x)$. Entonces f induce un mapa en tallos, que a su vez induce un mapa en espacios de la cotangente:
$$\mathfrak{m}{y,Y}/\mathfrak{m}{y,Y}^2 \rightarrow \mathfrak{m}{x,X}/\mathfrak{m}{x,X}^2$$
Asumir el doble de $K$ da el mapa sobre espacios tangentes.
Para poner esto en contexto, la definición del espacio tangente hace uso de la base explícita
$$\frac{\partial}{\partial T_i} \bigg|_x$$
Es decir, derivación parcial con respecto a la variable $T_i$, seguida de evaluación $x$.
Esto se explica en Shafarevich, p.88. Que $f(x)=y.$ la intrínseca y natural forma de definir este mapa es utilizar lo isomorfismos $T_xX\cong (\mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2)^$ $T_yY\cong(\mathfrak m_y/\mathfrak m_y^2)^$ y el hecho de que $f$ define un retroceso regular funciones $f^:k[Y]\to k[X].$ el mapa $f^$ induce un mapa $\mathfrak m_y\to\mathfrak m_x$ que factores dar $d_x^*:\mathfrak m_y/\mathfrak m_y^2\to\mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2.$
Existe una buena analogía entre espacios tangentes de las variedades diferenciables y las de variedades afines. Por la proposición de mi respuesta a esta pregunta, es canónicamente isomorfa a $Tx$, $Der(\mathcal{O}{X, x},K)$ $\mathcal{O}_{X,x}$ Dónde está el anillo local del $X$ $x$. El morfismo $f\colon X \rightarrow Y$, induce un morfismo $f^{#}x\colon \mathcal{O}{Y, f(x)} \rightarrow \mathcal{O}_{X, x}$ de álgebras de $K$-local. Por lo tanto, $f^{#}_x$ induce un mapa linear $dxf\colon Der(\mathcal{O}{X, x},K) \rightarrow Der(\mathcal{O}_{Y, f(x)},K)$, es decir, $d_x f\colon Tx X \rightarrow T{f(x)}Y$.
