Probando si una serie converge (Wolfram Alpha dice que diverge)

Question

Me dieron la secuencia $$c_j=(-1)^j \frac {2}{j+2} \left (1+ \frac {1}{2}+ \dots + \frac {1}{j+1} \right )$$ y lo reescribí como $$c_j=(-1)^j \frac {2}{j+2} \sum_ {n=1}^{j+1} \frac {1}{n}= \sum_ {n=1}^{j+1} \frac {2 \left (-1 \right )^j}{n \left (j+2 \right )}.$$

Entonces, me pidieron que probara que la serie $ \sum_ {j=0}^ \infty c_j$ converge.

Note que (creo) se refieren a que esta serie es $ \sum_ {j=0}^ \infty c_j = \sum_ {j=0}^ \infty\left [ \sum_ {n=1}^{j+1} \frac {2 \cdot\left (-1 \right )^j}{n \left (j+2 \right )} \right ]$

Sin embargo, cuando introduzco

sum [sum (2(-1)^j)/(n(j+2)), n = 1 to j+1], j = 0 to infinity

en Wolfram Alfa, me muestra la serie correcta pero concluye que se desvía por la prueba de límite. ¿Hay algún error que estoy cometiendo al reescribir? ¿Las series realmente divergen o convergen? Y si divergen, ¿cómo probaría eso usando la prueba límite?

Curiosamente, encontré que la conspiración $ \sum_ {j=0}^x \left ( \sum_ {n=1}^{j+1} \frac {2 \cdot\left (-1 \right )^j}{n \left (j+2 \right )} \right )$ en Desmos, el gráfico parece estar alternando pero convergiendo.

Answer 1

Se nos da que el $c_j$ alternan en el signo y que $$|c_j|={2 H_{j+1}\over j+2}\to0\qquad(j\to\infty)\ ,$$ donde $H_j:=\sum_{k=1}^j{1\over k}\approx \log j$ . Además, se calcula $$|c_j|-|c_{j+1}|={2(j+3)H_{j+1}-2(j+2)H_{j+2}\over(j+2)(j+3)}={2(H_{j+1}-1)\over(j+2)(j+3)}>0\qquad(j\geq1)\ .$$ En conjunto, esto demuestra que la serie dada es convergente, por el teorema principal sobre series alternas.

Answer 2

Desde $c_j \to 0,$ es suficiente para demostrar que la serie converge cuando se suma en pares. Así que miramos $\sum_{j=1}^{\infty}(c_{2j-1}- c_{2j}).$ Ahora

$$c_{2j-1}- c_{2j} = -\frac{1}{2j+1}\left(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{2j}\right) + \frac{1}{2j+2}\left(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{2j+1}\right) $$ $$= \left (-\frac{1}{2j+1} + \frac{1}{2j+2}\right)\left(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{2j}\right) + \frac{1}{2j+2}\frac{1}{2j+1}.$$

Estamos en buena forma aquí. En valor absoluto, el primer término entre paréntesis es del orden de $1/j^2,$ el segundo término entre paréntesis es del orden de $\ln j,$ y el último término es del orden de $1/j^2.$ Esto muestra $\sum_j |c_{2j-1}- c_{2j}|<\infty.$ Por lo tanto, nuestra serie en pares converge absolutamente, por lo tanto converge como se desea.