Por la simetría de $\cos$$x=0$, sólo tenemos que demostrarlo positivos $x$. Desde $\cos t\gt 1-\frac{t^2}{2!}$, hemos de positivos $x$ que
$$\sin x=\int_0^x \cos t\,dt\gt \int_0^x \left(1-\frac{t^2}{2!}\right)\,dt=x-\frac{x^3}{3!}.$$
Hacerlo de nuevo. Tenemos
$$1-\cos x=\int_0^x \sin t\,dt\gt \int_0^x \left(t-\frac{t^3}{3!}\right)\,dt,$$
que nos da lo que queremos. Y si queremos seguir, no hay nada que nos detenga.
Comentario: Uno lo puede hacer con la diferenciación. Primero vamos a probar que para los positivos $x$ tenemos $\sin x\gt x-\frac{x^3}{3!}$.
Deje $f(x)=\sin x-\left(x-\frac{x^3}{3!}\right)$. Tenemos $f(0)=0$. Para mostrar que $f(x)\gt 0$$x\gt 0$, es suficiente para demostrar que $f(x)$ es cada vez mayor.
Tenga en cuenta que $f'(x)=\cos x-\left(1-\frac{x^2}{2!}\right)$. Por el resultado que usted desea utilizar, tenemos $f'(x)\gt 0$ si $x\gt 0$. De ello se desprende que $f(x)$ es cada vez mayor.
Para su pregunta sobre $1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}$, hacerlo de nuevo. Deje $g(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cos x$. Tenemos $g(0)=0$, y quieres probar $g(x)$ es el aumento de $x\gt 0$.
Para esto, vamos a utilizar el hecho de que $g'(x)\gt 0$. Tenga en cuenta que $g'(x)=\sin x-\left(x-\frac{x^3}{3!}\right)$, y sólo hemos demostrado que esto es positivo.
