Una aplicación de Artin Wedderburn y Schur ' s lema

Question

En un álgebra de operadores de la clase, el profesor dijo que el siguiente.

Deje $G$ ser un grupo finito, y considerar el complejo grupo de álgebra que genera. El uso de los 3 siguientes hechos, que se supone que debemos ver que $\mathbb{C}[G]$ es de álgebra-isomorfo a una suma directa de la matriz álgebra de operadores, cada uno la imagen de algunos irreductible representación de $\mathbb{C}[G]$ supongo que por la representación, se refiere a un álgebra de homomorphism en el lineal se transforma en algo de espacio vectorial. Por irreductible que probablemente significa que no hay subespacios invariantes para la representación distinta de $0$ y todo espacio vectorial.

3 hechos son: 1. Artin Wedderburn 2. Schur del Lema 3. Cada división anillo de más de $\mathbb{C}$ es trivial. (Asumo que lo que significa es que cada división de álgebra $\mathbb{C}$ es de álgebra-isomorfo a $\mathbb{C}$.)

Soy muy oxidados en el álgebra, siendo un analista. Tengo una serie de preguntas. La primera es si este tipo de situación se da mucho en las álgebras de operadores. Me dijeron que al llegar a las álgebras de operadores que el "álgebra" de parte de el nombre del campo que era ilusorio, y por lo tanto no habría que preocuparse de que mi intuición natural y talentos están en análisis, y no en todos, en el álgebra. Es aconsejable para dominar el nivel de postgrado tipo de álgebra? Yo no he tenido ningún problema en hacer el álgebra que ha llegado hasta ahora. Por otro lado, he escuchado a un profesor mío, hablando acerca de cómo el grupo de álgebras son un importante empate en el campo de las álgebras de operadores, así que me pregunto si el hecho de que he olvidado casi todo lo que puede merecer una revisión completa del primer año de postgrado tipo de material en el álgebra.

Otra cuestión es si Artin Wedderburn realmente funciona para álgebras. Sé que es una declaración por la izquierda/derecha semisimple anillos (con la unidad), por lo que cabría la esperanza de que iba a funcionar para álgebras con estructura de anillo semisimple. Suponiendo que no estoy perplejo por el hecho de que la matriz de álgebras son finito dimensionales, por lo que podríamos deducir que todas las álgebras simples son finito dimensionales. O es que este no es el caso porque Artin Wedderburn sólo le dice que simple álgebras son isomorfos a un álgebra de matrices a través de algunas de la división de álgebra $\mathbb{C}$? En ese caso, ¿cómo puedo saber que la matriz de entradas, en este caso, son en realidad complejos?

En tercer lugar, ¿cómo puedo poner juntos estos 3 hechos para ver la demanda?

En cuarto lugar, por qué es cada división álgebra $\mathbb{C}$ sólo una copia de $\mathbb{C}$?

Answer 1

Cada (finito-dimensional) de la división de álgebra $\mathbb{C}$ es isomorfo a $\mathbb{C}$ porque $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado. Se argumenta de la siguiente manera. Deje $A$ ser finito-dimensional de la división de álgebra $\mathbb{C}$, y elegir cualquier valor distinto de cero $x \in A$. El conjunto $\{1, x, x^2, x^3, \ldots\}$ es linealmente dependiente, lo que significa que hay una relación de la forma $p(x) = 0$ donde $p$ es un polinomio en a $\mathbb{C}$. Desde $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, esto factores en $(x-a_1)(x-a_2) \ldots (x-a_n) = 0$ donde $a_i \in \mathbb{C}$. Desde $A$ es una división de álgebra, esto implica $x-a_i = 0$ algunos $i$. Desde $x$ fue arbitraria, llegamos a la conclusión de que $A$ es de 1 dimensional, es decir, $A \cong\mathbb{C}$.

Answer 2

En primer lugar, permítanme señalar que una matriz álgebra $M_n(K)$ sobre un campo $K$ tiene dimensión $n^2<\infty$, y la clasificación de semisimple álgebras proporcionada por Artin-Wedderburn solo se preocupa de lo finito-dimensional caso (al menos a mi conocimiento).

Confieso que no veo cómo utilizar Schur del Lexema en probar su reclamación. (Tal vez, Schur aparece al mismo tiempo que demuestra Una-W, de hecho una herramienta útil en la prueba de ello es que un simple álgebra es isomorfo a algunos $M_n(D)$; y para probar esto, se hace uso de Schur del Lexema en algún lugar. Pero, como he dicho, no sé lo que su profesor tenía en mente). Pero permítanme argumentan de la siguiente manera: uno puede mostrar que todos los $K[G]$-módulo es semisimple si char $K$ no divide $|G|$ (este es el Teorema de Maschke). En particular, $K[G]$ es un algebra semisimple. Ahora el uso de Artin-Wedderburn (que no tiene, en particular, para álgebras sobre un campo!) para escribir \begin{equation} K[G]=\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i) \end{equation} donde $D_i$ son desfase campos de más de $K$. Ahora usted puede preocuparse acerca de su favorito situación: $K=\textbf C$. No hay sesgar los campos de más de $\textbf C$ debido a que, en general, un sesgo de campo sobre $K$ está necesariamente contenida en un máximo de abelian extensión (finito de grados) $L$$K$. Pero $\textbf C$ no tiene finita no trivial de extensiones. Por lo tanto \begin{equation} \textbf C[G]=\prod_{i=1}^tM_{n_i}(\textbf C). \end{equation}

Pero, ¿qué es $t$? ¿Cuáles son las $n_i$'s? Cómo interpretar los factores de $M_{n_i}(\textbf C)$?

Bueno, en realidad, $t$ es el número de representaciones irreducibles de $G$ (si ayuda, es igual al número de clases conjugacy en $G$), y $n_i$ es la dimensión de la $i$-th irreductible representación compleja de $G$. Así que la fórmula habitual $|G|=\sum_{i=1}^tn_i^2$ es reflejada por la A-W descomposición: \begin{equation} |G|=\dim_\textbf C\textbf C[G]=\sum_{i=1}^t\dim_\textbf CM_{n_i}(\textbf C). \end{equation}