Encontrar el discriminante y las raíces de un polinomio

Question

¿Cómo se determina el discriminante de un polinomio? Sé que para una función cuadrática, las raíces (donde $f(x)=0$ ) se encuentran mediante $$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$
y aquí $\Delta$ es el discriminante. El discriminante es lo que define la naturaleza de las raíces (si serán reales o complejas, dependiendo de si $\Delta>0$ o $\Delta<0$ ).

¿Cómo se determina el discriminante de un polinomio cúbico y de polinomios superiores?
En cuanto a los polinomios cuadráticos: $$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$ se encuentra completando el cuadrado, lo que se puede hacer con todos los polinomios cuadráticos, y luego se aplica esta fórmula para encontrar las raíces.
Pero para los polinomios cúbicos, los polinomios cuátricos, el grado $7$ polinomios, etc,..., ¿cómo se encuentran las raíces? (¿También cómo se determina el discriminante?)

Si tienes un polinomio cúbico, a veces puedes factorizarlo y convertirlo en un polinomio cuadrático multiplicado por otro término: $$9t^3-18t^2+6= 3t(3t^2-6t+2)$$ pero hay casos en los que no se puede simplificar así, ¿no?

Así que tengo curiosidad por saber cómo encontrar las raíces/discriminantes en polinomios de grado superior.

Answer 1

Si un polinomio está dado numéricamente, (coeficientes $a_0..a_n$ están dadas), se puede utilizar el método de la resultante para obtener un valor numérico del discriminante. Los coeficientes del polinomio y su derivada se ponen en un (n+2)-cuadrado Matriz de Sylvester . Entonces el determinante es el discriminante deseado. Cuando escribir el discriminante de una matriz que contiene símbolos es prohibitivo, el discriminante puede calcularse rápidamente de forma numérica utilizando los paquetes de matrices existentes en $O(N^3)$ tiempo.

Está muy bien explicado en

http://www2.math.uu.se/~svante/papers/sjN5.pdf

Este es el ejemplo 4.7

Si $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ , entonces el Teorema 3.3 da como resultado

$$\begin{align} \begin{array}{| ccccccc |} & a & b & c & d & e & 0 & 0 &\\ & 0 & a & b & c & d & e & 0 \\ & 0 & 0 & a & b & c & d & e \\ & 4a& 3b& 2c& d & 0 & 0 & 0 \\ & 0 & 4a& 3b& 2c& d& 0 & 0 \\ & 0 & 0 & 4a& 3b& 2c& d & 0 \\ & 0 & 0 & 0 & 4a& 3b& 2c& d \\ \end{array} \end{align}$$

\= $b^2c^2d^2 - 4b^2c^3 e - 4b^3d^3 + 18b^3cde - 27b^4e^2 - 4ac^3d^2 + 16ac^4e + 18abcd^3 - 80abc^2de - 6ab^2d^2e + 144ab^2ce^2 - 27a^2d^4 + 144a^2cd^2e - 128a^2c^2e^2 - 192a^2bde^2 + 256a^3e^3$

Answer 2

Si $x_1, \ldots, x_n$ son las raíces de un polinomio $f$ es decir $f(x)=(x-x_1)\cdots (x-x_n)$ entonces el discriminante de $f$ se define como $\Delta=\prod_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)$ . Entonces $\Delta^2$ es una expresión que es simétrico en el $x_i$ por lo que se puede expresar mediante la fórmula simétrico elemental polinomios, que son los coeficientes de $f$ . Mientras que $\Delta$ nos dice algo sobre el comportamiento de las raíces (especialmente, $\Delta=0$ si hay múltiples raíces), no es el final de la historia para grados polinómicos superiores. Como se ha insinuado en el comentario de abiessu, la teoría de Galois muestra que no existe ningún método general que utilice radicales para resolver los grados cinco y superiores.