En matemáticas, los vectores son elementos de un espacio vectorial, es decir, miembros de un conjunto $V$ en el que se definen una operación de "suma de vectores" $+:V\times V\to V$ y una operación de "multiplicación por escalar" $\cdot: K\times V\to V$ con $K$ un campo, de modo que $(V,+)$ es un grupo abeliano y hay asociatividad con la multiplicación en $K$ y distributividad tanto para la suma en $K$ como para la suma en $V.
En resumen: puedes sumar dos vectores y puedes multiplicar un vector por un número (o algo que se comporte como números en ciertos aspectos).
Ahora, ¿dónde entra la magnitud? Para definir una magnitud, necesitamos una estructura adicional: una norma $\|\cdot\|:V\to \mathbb R_0^+$, cuya función es precisamente asignar a cada vector una magnitud.
Ahora, si el campo $K$ del espacio vectorial contiene los números reales (esto no es necesario para la existencia de la norma; por ejemplo, el espacio vectorial podría ser sobre los números racionales), entonces puedes definir el concepto de dirección que sea representado por el vector unitario $n_v=\frac{v}{\|v\|}$. Así puedes descomponer cada vector $v$ de forma única en una magnitud $\|v\|$ y una dirección $d_v$ de modo que $v=\|v\|d_v$.
Un propiedad de los espacios vectoriales (todos ellos, no solo los normalizados) es que permiten la definición de una base, es decir, un conjunto de vectores linealmente independientes (vectores cuyos múltiplos no suman al vector nulo a menos que todos los coeficientes sean $0$) para que puedas escribir cada vector como una combinación lineal de los vectores base (es decir, una suma de la forma $\alpha_1 b_1+\dots+\alpha_n b_n$). Esos $\alpha_i$ son únicos para el vector. Es decir, puedes describir el vector mediante la lista de $\alpha_i$.
Ahora, si el espacio vectorial es de dimensión finita (es decir, tiene una base con un número finito de vectores base; el número de vectores base se llama la dimensión), tienes una lista de un número finito de valores describiendo cada vector. Es decir, tus vectores están descritos por una tupla de valores. Ahora, en computación, las tuplas de valores están representadas por arreglos.
Entonces, en última instancia, tenemos:
- Todos los vectores en un espacio vectorial normalizado pueden ser representados por magnitud y dirección.
- Todos los vectores en un espacio vectorial de dimensión finita pueden (una vez que se ha elegido una base) ser representados por los valores almacenados en un arreglo.
El espacio vectorial euclidiano 3D que modela nuestro espacio de experiencia tiene ambas propiedades (y aún más: tiene un producto escalar, por lo que también permite definir ángulos).
