Estoy tratando de entender La paradoja de Russells
¿Cómo puede un conjunto contenerse a sí mismo? ¿Puedes mostrar un ejemplo de un conjunto que no sea un conjunto de todos los conjuntos y que se contenga a sí mismo?
En la teoría de conjuntos moderna (léase ZFC) no existe tal conjunto. El axioma de fundamento asegura que tales conjuntos no existen, lo que significa que la clase definida por Russell en la paradoja es de hecho la colección de todos los conjuntos.
Sin embargo, es posible construir un modelo de todos los axiomas, excepto el axioma de fundación, y generar conjuntos de la forma $x=\{x\}$ . Alternativamente hay axiomas más fuertes como el axioma de Antifundación que también implica que hay conjuntos como $x=\{x\}$ . Es decir, conjuntos para los que $x\in x$ .
Para la matemática común se puede suponer que el fundamento se basa en ZFC o no (porque hay un modelo de ZFC dentro de un modelo de ZFC-Fundamento), por lo que no hay manera de señalar en un conjunto particular para el que es cierto.
También es interesante:
El axioma antifundacional de Aczel es un ejemplo clásico: http://en.wikipedia.org/wiki/Aczel%27s_anti-foundation_axiom
"Afirma que todo grafo dirigido punteado accesible corresponde a un conjunto único. En particular, el grafo formado por un solo vértice con un bucle corresponde a un conjunto que sólo se contiene a sí mismo como elemento, es decir, un átomo de Quine."
Eso se parece a algo de la forma: $$\{\{\cdots \{\{x\}\}\cdots \}\}$$ lo que parece estar mal visto por los teóricos del juego.
@PeterTamaroff: No está tan mal visto como violar la regularidad. Un conjunto que se contiene a sí mismo como elemento no está bien fundado por definición. La paradoja de Russel es una paradoja en la teoría de conjuntos ingenua, así que sin nada parecido al axioma de fundamentación. Hay axiomatizaciones de la teoría de conjuntos que permiten violar la regularidad. Uno de los axiomas más famosos que implican que existen conjuntos como el propuesto es el axioma de antifundamentación de Aczel (y sus diversos sabores).
@Peter: Para añadir al comentario de tomasz, independientemente de la fundamentación, la paradoja muestra que hay una colección definible que no es un conjunto. Ni siquiera tiene que ser la colección de todos los conjuntos bien fundados, pero no es un conjunto. Si el universo no está bien fundado es posible que la clase definida no son todos los conjuntos del universo.
Creo que parte de la respuesta a la paradoja de Russell tiene que ver con la distinción entre un conjunto como colección de cosas y el "nombre" del conjunto. Un conjunto que realmente se contiene a sí mismo estaría en una regresión infinita de cosas.
"El conjunto que lo contiene todo" si en realidad se contiene a sí mismo (no sólo su "nombre"; sino literalmente todo) es casi una especie de error de división por cero.
Esta no es una confusión inusual, cuando el nombre de una cosa viene a ser un marcador de posición para la cosa en sí - se puede jugar con el símbolo y olvidar que la sustancia de lo que realmente se compone tiene alguna realidad.
Esto puede funcionar en listas de otros símbolos, como en el ejemplo de los catálogos u otras listas similares que sólo incluyen referencias y no objetos reales.
No soy matemático, pero me interesa la filosofía de la representación y la realidad.
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El conjunto de todas las cosas posibles es un elemento de sí mismo ya que él mismo es una cosa... pero, claro, esto es precisamente lo que la paradoja de Russell vino a señalar y desde entonces no hay conjunto de todos los conjuntos ni conjunto de todas las cosas ni cosas raras por el estilo. Así, dentro del sistema lógico habitual de ZF (con AC o sin él), no podemos tener cosas como las anteriores.
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En matemáticas, los conjuntos que son elementos de sí mismos no aparecen en la práctica. Son sólo una posibilidad problemática y teórica en las discusiones de cosas como la RP. No obstante, se han propuesto varias soluciones complicadas para ellos, por ejemplo, la teoría de tipos o algunos axiomas de ZFC. Pero, en mi opinión, son excesivos. Sólo hay que asegurarse de que no se puede demostrar $\exists k\forall x (x\in k\leftrightarrow\neg x\in x)$ en la teoría de conjuntos que adoptas. Hay formas más sencillas y naturales que la TT o la ZFC.