La diferencia del mapa del conmutador en un grupo de Lie

Question

Leb$G$ ser un grupo de Lie y$f:G\times G\rightarrow G$ ser el mapa del conmutador$:(x,y)\mapsto xyx^{-1}y^{-1}$.

¿Cómo obtener el corchete de Lie en el álgebra de Lie asociada de$G$ de las derivadas de$f$?

(Sabemos que el paréntesis de Lie se define a través de la representación adjunta).

(He visto$df_{(e,e)}(X,Y)=[X,Y]$ en alguna parte. Gracias a @John por comentar esto, esto es falso. Pero creo que sí existe una relación entre el paréntesis de Lie y las derivadas de$f$).

Answer 1

Creo que el diferencial en $(e,e)$ es realmente cero:

En primer lugar, si $m : G\times G \to G, (g,h)\mapsto gh$ es la multiplicación del mapa, a continuación, $dm : T_e G \oplus T_e G \to T_e G$ está dado por $(X,Y)\mapsto X+Y$.

También si $i: G \to G, g \mapsto g^{-1}$ denota la inversión mapa a continuación, tenemos $di : T_e G \to T_e G, X\mapsto -X$.

Su mapa de $f$ está dado por la composición $$ G\times G \G\times G\times G \times G \G\times G \G \\ (g,h) \mapsto (g,h, g^{-1}, h^{-1}) \mapsto (gh, g^{-1} h^{-1}) \mapsto de gei^{-1} h^{-1} $$ por lo que el diferencial es la composición $$ (X,Y) \mapsto (X,Y, -X,-Y) \mapsto (X+Y, -X-Y) \mapsto0. $$