Teorema de Moivre. Encontrar los valores exactos de las soluciones de las ecuaciones.

Question

Considerando el $z=cos\theta +i \sin \theta$ y aplicando el teorema de Moivre, mostrar que $$\sin5 \theta=\sin \theta (16 \sin^4 \theta-20 \sin^2 \theta +5)$ $

Encontrar los valores exactos de las soluciones de la ecuación de $16x^4-20x^2+5=0$

No tengo ningún problema con la primera parte.

Entonces encontré la x es igual a 0, $\sin36, \sin108$ y $\sin144$. Pero la respuesta dada 0 no se incluye. ¿Por qué?

Answer 1

Probablemente se han dado cuenta de que $\sin\theta$ toma todos los valores, por lo que puede establecer $x=\sin\theta$. Entonces usted tendrá

$$\sin5\theta = x(16x^4-20x^2 + 5)$$

Esto significa que es fácil para encontrar las raíces de $x(16x^4-20x^2+5)$ $x=\sin\theta$ siempre $\sin5\theta=0$ (ie $\theta = n\pi/5$).

Ahora tiene diez candidatos por período, pero debido a la simetría sólo la mitad de ellos son distintos: $\sin0, \pm\sin\pi/5, \pm\sin2\pi/5$ (supongo que aquí es donde usted salió mal, no la identificación de todas las raíces). Ahora usted sabe que el polinomio tiene estos cinco raíces y las raíces de los factores (por $x(16x^4-20x^2+5)$ a ser cero o bien $x$ es cero o $(16x^4-20x^2+5)$ es cero). El polinomio $x$ tiene root $0$ $16x^4-20x^2+5$ (en la mayoría) de las cuatro raíces que deben ser los cuatro restantes.

Así que las soluciones son: $x=\pm\sin\pi/5$$x=\pm\sin2\pi/5$.

Como se ha señalado usted podría también tenga en cuenta que puede ser resuelto utilizando el mismo método que la cuadrática:

$$16x^4-20x^2+5 = (4x^2-5/2)^2 - 5/4$$

que dará a las raíces

$$4x^2-5/2 = {\pm\sqrt5\over2}$$ $$2x = \pm\sqrt{{5\over2}\pm{\sqrt5\over2}}$$ $$x = \pm\sqrt{{5\over8}\pm{\sqrt5\over8}}$$

como un bono tienes un valor de$\sin\pi/5$$\sin2\pi/5$:

$$\sin\pi/5 = \sqrt{{5\over8}-{\sqrt5\over8}}$$ $$\sin2\pi/5 = \sqrt{{5\over8}+{\sqrt5\over8}}$$

Answer 2

<ol> <li><p>Te perdiste la solución $x=\sin(72°)=\sqrt{{5\over8}+{\sqrt5\over8}}$,</p></li> <li><p>no considerar el factor $x$ delante el polinomio.</p></li> </ol> <p>Hay soluciones de $5$ $x$ en total, conduce a soluciones diferentes $10$ $\theta$ (ángulos directos y complementarios), sin contar con periodicidad.</p> <p><a href="http://i.stack.imgur.com/JxwqN.png" rel="nofollow"><img src="http://i.stack.imgur.com/JxwqN.png" alt="enter image description here"></a></p>