En primer lugar, tenga en cuenta que el integrando original, $$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} ,$$ is defined on the interval $(-1, 1)$.
Ahora, cuando hacemos la habitual inversa de sustitución de $x = \sin u$, hay muchos valores de $u$ que dan a un determinado valor de $\sin u$, por lo que debemos (generalmente de manera implícita) elija un intervalo de $u$ en el que la función de $u \mapsto \sin u$ es invertible y tomar al menos en los valores en que el integrando es definido (por lo anterior, en nuestro caso $\sin u$ debe tomar todos los valores en $(-1, 1)$).
La costumbre (de nuevo, implícita) de elección es $I := \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. De hecho, $\arcsin$ se define para ser la inversa de la función de la restricción $\sin\vert_{[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]}$, por lo que también podemos hacer nuestra elección de intervalo explícito al declarar $u = \arcsin x$. La elección de este intervalo tiene la excelente propiedad de que para $u \in I$ tenemos $\cos u > 0$, lo $\sqrt{\cos^2 u} = \cos u$ y por lo tanto
$$\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \int du = u + C = \arcsin x + C$$
como generalmente se reivindica.
Por otro lado, se podría haber elegido otro (menos conveniente) intervalo de donde tomar los valores de nuestra nueva variable, por ejemplo, $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$, en el que $\cos v < 0$, por lo que el $\sqrt{\cos^2 v} = -\cos v$. En este caso, la simetría de la función seno da que podemos escribir esta sustitución como $v = \pi - \arcsin x$, y así
$$
\begin{align*}
\int\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}
&= \int\frac{\cos v \,dv}{\sqrt{|\cos^2 v|}}\\
&= \int\frac{\cos v \,dv}{-\cos v}\\
&= -\int dv\\
&= - v + C'\\
&= -(\pi - \arcsin x) + C'\\
&= \arcsin x + (C' - \pi) .
\end{align*}
$$
Mediante la absorción de $-\pi$ en la constante, es decir, la configuración de $C := C' - \pi$, podemos recuperar la respuesta que produce el uso de la opción habitual de intervalo.
