Compleja ecuación: $z^8 = (1+z^2)^4$

Question

¿Qué pasa con esta compleja ecuación?

$ z^8 = (1+z^2)^4 $

Para empezar, no parece ser un problema cuando tratamos de aplicar de la raíz de cuatro a ambos lados de la ecuación:

$ z^8 = (1+z^2)^4 $

$ z^2 = 1 + z^2 $

que claramente no tiene soluciones, pero nosotros sabemos que hay soluciones: el problema es que a partir de un examen, y que, además, wolphram alpha gladily les da a nosotros.

Hemos tratado de resolver mediante el trigonomectric forma, pero la suma dentro de los paréntesis está matando a todos nuestros intentos.

Alguna ayuda? Ideas?

Answer 1

Cuando usted toma cuarta raíces en el plano complejo, obtiene cuatro soluciones que diferencian por factores de $i$. Esto es similar a lo de los reales que una raíz cuadrada le da dos soluciones. Además de la raíz cuarta muestra, también tienes el % de posibilidades $$z^2=i(1+z^2)\z^2=-(1+z^2)\z^2=-i(1+z^2)$$

Answer 2

Consejo: tenemos $z^8-(1+z^2)^4=- \left( 2\,{z}^{2}+1 \right) \left( 2\,{z}^{4}+2\,{z}^{2}+1 \right) $

Answer 3

Usted tiene el mismo fenómeno en los números reales y con mucho más simple de las ecuaciones. Considere la posibilidad de $x^2 = (x + 1)^2$. Si se lleva "raíz cuadrada", consigue $x = x + 1$ que no tiene ninguna solución, mientras que $x = -\frac{1}{2}$ es claramente una solución. La razón es que un número distinto de cero tiene dos raíces cuadradas que usted necesita considerar. Si $x^2 = (x+1)^2$ $x = (x+1)$ o $x = -(x + 1)$. La primera ecuación no tiene ninguna solución, mientras que la segunda ecuación tiene una solución.

En su caso, como Ross Millikan señaló, la ecuación de $(z^2)^4 = (1 + z^2)^4$ conduce a cuatro posibles ecuaciones de $z^2 = \pm (1 + z^2), z^2 = \pm i (1 + z^2)$ que se debe analizar.

Answer 4

Las soluciones de $z^8 = (1+z^2)^4$ y el problema que veo, se ven claramente de un proceso de Factorización: $$\begin{align} z^8 - (1+z^2)^4 &= 0 \,, \ [z^4 + (1+z^2)^2] [z^4 - (1+z^2)^2] &= 0 \,, \ [z^2 + i(1+z^2)] [z^2 - i (1+z^2)] [z^2 - (1+z^2)] [z^2 + (1+z^2)] &= 0 \,. \end {Alinee el} $$

De la última línea, queda claro que sólo han considerado un caso (el tercer término) sobre otros cuatro casos. Este caso, en particular, no tiene soluciones, $$ \begin{align} [z^2 + i(1+z^2)] [z^2 - i (1+z^2)] [z^2 - (1+z^2)] [z^2 + (1+z^2)] &= 0 \,, \ [(1+i)z^2 + i] [(1-i)z^2 - i ] [ - 1 ] [2z^2 + 1] &= 0 \,, \ \end{alinee el} $$

Creo que esto aclare un poco las respuestas publicadas por Millikan y Levap.

Answer 5

$$z^8=(z^2+1)^4\Longleftrightarrow$$ $$z^4=(z^2+1)^2\Longleftrightarrow\space\space\vee\space\space z^4=-(z^2+1)^2\Longleftrightarrow$$ $$z^2=z^2+1\Longleftrightarrow\space\space\vee\space\space z^2=-1-z^2\Longleftrightarrow\space\space\vee\space\space z^4=-(z^2+1)^2\Longleftrightarrow$$ $$0\ne1\space\space\vee\space\space z^2=-1-z^2\space\space\vee\space\space\Longleftrightarrow z^4=-(z^2+1)^2\Longleftrightarrow$$ $$z^2=-1-z^2\Longleftrightarrow\space\space\vee\space\space z^4=-(z^2+1)^2\Longleftrightarrow$$ $$2z^2=-1\Longleftrightarrow\space\space\vee\space\space z^4=-(z^2+1)^2\Longleftrightarrow$$ $$z^2=-\frac{1}{2}\Longleftrightarrow\space\space\vee\space\space z^4=-(z^2+1)^2\Longleftrightarrow$$ $$z=\pm\frac{i}{\sqrt{2}}\Longleftrightarrow\space\space\vee\space\space z^4=-(z^2+1)^2\Longleftrightarrow$$ $$z=\pm\frac{i}{\sqrt{2}}\Longleftrightarrow\space\space\vee\space\space z^4=-z^4-2z^2-1\Longleftrightarrow$$ $$z=\pm\frac{i}{\sqrt{2}}\Longleftrightarrow\space\space\vee\space\space 2z^4+2z^2+1=0\Longleftrightarrow$$

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Sustituto de $x=z^2$:

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$$z=\pm\frac{i}{\sqrt{2}}\Longleftrightarrow\space\space\vee\space\space 2x^2+2x+1=0\Longleftrightarrow$$ $$z=\pm\frac{i}{\sqrt{2}}\Longleftrightarrow\space\space\vee\space\space x=\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{4}\Longleftrightarrow$$ $$z=\pm\frac{i}{\sqrt{2}}\Longleftrightarrow\space\space\vee\space\space x=\frac{-2\pm 2i}{4}\Longleftrightarrow$$ $$z=\pm\frac{i}{\sqrt{2}}\Longleftrightarrow\space\space\vee\space\space z^2=\frac{-2\pm 2i}{4}\Longleftrightarrow$$ $$z=\pm\frac{i}{\sqrt{2}}\space\space\vee\space\space z=\pm\sqrt{\frac{-2\pm 2i}{4}}$$