En primer lugar, su expresión para $I^*$ no está de acuerdo con la ecuación de Euler: si usted escribe $I^*$ como lo hizo, la ecuación de Euler debería ser $\ddot{x} + \lambda x = 0$. (De hecho, usted tiene una señal de error. La correcta ecuación de Euler para la geodésica es $\ddot{x} + |\dot{x}|^2 x = 0$, si el signo se como se escribió, la solución podría no ser una función trigonométrica, sino más bien una función exponencial.)
Ahora, para calcular el $\lambda$, es necesario utilizar la restricción $|x|^2 = 1$ dos veces. En primer lugar, tomar el producto escalar de la ecuación de Euler con $x$, se obtiene que
$$ x\cdot \ddot{x} + \lambda |x|^2 = x \cdot\ddot{x} + \lambda = 0$$
En segundo lugar, tomar la segunda vez que derivado de la restricción
$$ 0 = \frac{d^2}{dt^2}(|x|^2 - 1) = \frac{d}{dt} (x\cdot \dot{x}) = \dot{x}\cdot\dot{x} + x \cdot \ddot{x} $$
Comparando las dos ecuaciones y resolviendo $\lambda$, usted tiene que $\lambda = |\dot{x}|^2$. Por lo tanto la correcta ecuación de Euler es, de hecho,
$$ \ddot{x} + |\dot{x}|^2 x = 0 $$
Para tu segunda pregunta, el $A$s y $C$s (un total de 6 variables libres) son fijados por la inicial de los datos: la posición inicial y la velocidad inicial de la línea geodésica. En otras palabras, usted tiene que
$$ x_i(t) = A_i \cos\left( |\dot{x}|^2 t - C_i\right) $$
y usted quiere resolver para $A_i, C_i$ para los valores prescritos $x_i(0)$$\dot{x}_i(0)$. (Por supuesto, los datos iniciales deben satisfacer las restricciones que el vector de velocidad es ortogonal al vector de posición, y que el vector de posición tiene norma 1.)
