Por favor verificar mi respuesta a la siguiente ecuación diferencial: $$y''-xy'+y=0$$ Deje $y = {\sum_{n=0}^\infty}C_nx^n$, $y' = {\sum_{n=1}^\infty}nC_nx^{n-1}$ $y''={\sum_{n=2}^\infty}n(n-1)C_nx^{n-2}$
La sustitución de esta parte de la ecuación obtenemos
$${\sum_{n=2}^\infty}n(n-1)C_nx^{n-2}-x{\sum_{n=1}^\infty}nC_nx^{n-1}+{\sum_{n=0}^\infty}C_nx^n = 0$$ $${\sum_{n=2}^\infty}n(n-1)C_nx^{n-2}-{\sum_{n=1}^\infty}nC_nx^n+{\sum_{n=0}^\infty}C_nx^n = 0$$
Obtener el $x^n$ plazo en todos los términos $${\sum_{n=0}^\infty}(n+2)(n+1)C_{n+2}x^{n}-{\sum_{n=1}^\infty}nC_nx^n+{\sum_{n=0}^\infty}C_nx^n = 0$$
Obtener el $0$th término de la primera y la tercera sumatorias tenemos $$2C_2+C_0 + {\sum_{n=1}^\infty}(n+2)(n+1)C_{n+2}x^{n}-{\sum_{n=1}^\infty}nC_nx^n+{\sum_{n=1}^\infty}C_nx^n = 0$$
Factoring $x^n$ tenemos $$2C_2+C_0 + {\sum_{n=0}^\infty}[(n+2)(n+1)C_{n+2}-nC_n+C_n]x^n= 0$$
i.$$2C_2+C_0 = 0 => C_2 = \frac{-C_0}{2}$$
ii.$$(n+2)(n+1)C_{n+2}-nC_n+C_n = 0$$
Por lo tanto, de problemas ii. para $C_{n+2}$ $$C_{n+2}=\frac{(n-1)C_n}{(n+2)(n+1)}, n=0,1,2,3,...$$
Si $n = 0$,
$$C_2 = \frac{-C_0}{2!}$$
Si $n=1$,
$$C_3 = 0$$
Si $n=2$,
$$C_4 = \frac{C_2}{3*4} = \frac{-C_0}{4!}$$
Si $n=3$,
$$C_5 = \frac{2C_3}{4*5}=0$$
Si $n=4$, $$C_6 = \frac{3C_4}{5*6} = \frac{-C_0}{6!}$$
Al ver el patrón nos damos cuenta de que si $n=2m$ $$C_{2m} = \frac{-C_0}{2m!}$$
Y si $n=2m+1$ $$C_{2m+1} = 0$$
Así que la respuesta final sería $$y = {\sum_{n=0}^\infty}C_nx^n => {\sum_{m=0}^\infty}\frac{-C_0*x^{2m}}{2m!}$$