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Por favor verifique mi solución de la serie de energía para la ecuación diferencial $y''-xy'+y=0$.

Por favor verificar mi respuesta a la siguiente ecuación diferencial: $$y''-xy'+y=0$$ Deje $y = {\sum_{n=0}^\infty}C_nx^n$, $y' = {\sum_{n=1}^\infty}nC_nx^{n-1}$ $y''={\sum_{n=2}^\infty}n(n-1)C_nx^{n-2}$

La sustitución de esta parte de la ecuación obtenemos

$${\sum_{n=2}^\infty}n(n-1)C_nx^{n-2}-x{\sum_{n=1}^\infty}nC_nx^{n-1}+{\sum_{n=0}^\infty}C_nx^n = 0$$ $${\sum_{n=2}^\infty}n(n-1)C_nx^{n-2}-{\sum_{n=1}^\infty}nC_nx^n+{\sum_{n=0}^\infty}C_nx^n = 0$$

Obtener el $x^n$ plazo en todos los términos $${\sum_{n=0}^\infty}(n+2)(n+1)C_{n+2}x^{n}-{\sum_{n=1}^\infty}nC_nx^n+{\sum_{n=0}^\infty}C_nx^n = 0$$

Obtener el $0$th término de la primera y la tercera sumatorias tenemos $$2C_2+C_0 + {\sum_{n=1}^\infty}(n+2)(n+1)C_{n+2}x^{n}-{\sum_{n=1}^\infty}nC_nx^n+{\sum_{n=1}^\infty}C_nx^n = 0$$

Factoring $x^n$ tenemos $$2C_2+C_0 + {\sum_{n=0}^\infty}[(n+2)(n+1)C_{n+2}-nC_n+C_n]x^n= 0$$

i.$$2C_2+C_0 = 0 => C_2 = \frac{-C_0}{2}$$

ii.$$(n+2)(n+1)C_{n+2}-nC_n+C_n = 0$$

Por lo tanto, de problemas ii. para $C_{n+2}$ $$C_{n+2}=\frac{(n-1)C_n}{(n+2)(n+1)}, n=0,1,2,3,...$$

Si $n = 0$,

$$C_2 = \frac{-C_0}{2!}$$

Si $n=1$,

$$C_3 = 0$$

Si $n=2$,

$$C_4 = \frac{C_2}{3*4} = \frac{-C_0}{4!}$$

Si $n=3$,

$$C_5 = \frac{2C_3}{4*5}=0$$

Si $n=4$, $$C_6 = \frac{3C_4}{5*6} = \frac{-C_0}{6!}$$

Al ver el patrón nos damos cuenta de que si $n=2m$ $$C_{2m} = \frac{-C_0}{2m!}$$

Y si $n=2m+1$ $$C_{2m+1} = 0$$

Así que la respuesta final sería $$y = {\sum_{n=0}^\infty}C_nx^n => {\sum_{m=0}^\infty}\frac{-C_0*x^{2m}}{2m!}$$

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user32262 Puntos 2147

Su ecuación es una ecuación lineal de segundo orden por lo que debe ser un espacio de dos dimensiones de soluciones (es decir, las soluciones que dependen de dos parámetros libres), mientras que su respuesta final sólo depende de un parámetro libre $C_0$ así que esto significa que usted hizo algo mal.

De hecho, las ecuaciones no determinan lo que es $C_1$ lo que significa que $C_1$ puede ser arbitraria. Además, usted cometió un error en la deducción de la pauta general. Por ejemplo,

$$ C_6 = \frac{3}{6 \cdot 5} C_4 = -\frac{3}{6 \cdot 5} \frac{1}{4!} C_0 = -\frac{3C_0}{6!} \neq -\frac{C_0}{6!}.$$

De hecho, hemos

$$ C_{2m} = \frac{(2m-3)C_{2m-2}}{(2m)(2m-1)} = \frac{(2m-3)(2m-5)C_{2m-4}}{(2m)(2m-1)(2m-2)(2m-3)} = \dots = -\frac{(2m - 3)(2m - 5) \dots 1}{(2m)!} C_0 = - \frac{(2m - 3)(2m - 5) \dots 1}{(2m)(2m-1)(2m-2)(2m-3)(2m-4) \dots 1} C_0 = -\frac{C_0}{(2m-1)2^{m}m!}$$

y la solución general está dada por

$$ y(x) = C_1 \cdot x - C_0 \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{2m}}{(2m-1)2^m m!}. $$

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