Observar que con la inclusión-exclusión que podemos contar el número de
permutaciones tener al menos $k$ los valores de $q$ es seguido por $q+1$
por la elección de los $k$ de la gama de $1$ $n-1$y de la fusión
con los elementos que siga inmediatamente, formando en la mayoría de las $k$ bloques.
Luego podemos permutar estos $n-k$ elementos de cualquier manera que nos gusta.
Este rendimientos por la inclusión-exclusión
$$\sum_{k=0}^{n-1} {n-1\elegir k} (-1)^k (n-k)!
= (n-1)! \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k!} (n-k)
\\ = (n-1)! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} (n-k)
= n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}
- (n-1)! \sum_{k=0}^{n} k \frac{(-1)^k}{k!}
\\ = D_n - (n-1)! \sum_{k=1}^{n} k \frac{(-1)^k}{k!}
= D_n - (n-1)! \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{(k-1)!}
\\ = D_n + (n-1)! \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k!}
= D_n + D_{n-1}.$$
Un bloque de longitud $m$ reduce el número de elementos que se permutan por
$m$ y, a continuación, agrega uno nuevo. Por otro lado $m-1$ es el número de
de adyacentes elementos consecutivos en el bloque, y sumando esto a través de todos los
bloques de rendimientos $k.$
