Ecuación diferencial con una constante en él

Question

Solucionar $$y'' + s^2y = b \cos sx$$

donde $s$ $b$ son constantes. He tratado de coeficientes indeterminados, pero se hace un lío que me mantenga perderse, también traté de variación de parámetros. Realmente mi problema es mantenerse organizado lo suficiente como para obtener la solución, mis soluciones son siempre un poco fuera de el libro.

Me han resuelto el complementario homogénea de la ecuación, esto me dio una solución con $\cos{sx}$ en Lo que esté fuera de los límites de la solución particular. Yo buscaba una solución en $x \sin{sx}$$x \cos{sx}$, pero como ya he dicho, fue un desastre.

Me pregunto si voy sobre todo mal.

Relacionado con esto, ¿por qué la variación de los parámetros de veces producen un término que es una solución a la homogénea caso?

Gracias

Answer 1

Usted puede encontrar las de Segundo Orden Ecuaciones Lineales secciones de mi ecuaciones diferenciales notas útiles. En este caso, usted empezar con el complejo versión de su ecuación, $P(D) y = b e^{isx}$ donde $P(D) = D^2 + s^2 = (D + i s)(D - i s)$, $D$ ser el operador de la derivada. Aquí $is$ es una de las dos raíces de $P$: escribimos $y = e^{isx} u$, y por el Exponencial Cambio Teorema $P(D) e^{isx} u = e^{isx} P(D + is) u = e^{isx} (D + 2 i s) D u$. Con $v = D u$ ahora queremos $(D + 2 i s) v = b$. Que tiene una constante de la solución de $v = \frac{b}{2is} = \frac{-ib}{2s}$. La integración, $u = \frac{-ib x}{2s}$ (podemos ignorar la constante arbitraria, lo que conduce a una solución de la ecuación homogénea). Por lo $y = \frac{-ibx}{2s} e^{isx}$ es una solución de $y'' + s^2 y = b e^{isx}$. Escrito $e^{isx} = \cos(sx) + i \sin(sx)$ y tomando la parte real, $y = \frac{bx}{2s} \sin(sx)$ es una solución de la ecuación diferencial.

Answer 2

Necesita diferenciar, por ejemplo,$y = Ax\cos sx$ dos veces utilizando la regla de la cadena.

Asi que $y' = A\cos sx - Asx \sin sx$

Y$y'' = -2As \sin sx - As^2x\cos sx$

Entonces $y'' + s^2y = -2As \sin sx$

Pero necesitas$\cos sx$ y estoy seguro de que ahora puedes ver cómo hacerlo.

NOTA: Como la ecuación es lineal, si las expresiones se complican, puede tratar los términos sin y cos de$y= Ax\sin sx + Bx\cos sx$ por separado y obtener la combinación lineal correcta al final. A veces puede ser más fácil convertir todo a funciones exponenciales.

Answer 3

Aquí es un ad-hoc método para resolver este (que se deriva de mi respuesta a esta pregunta: ¿Cuál es la manera más rápida de resolver este 2º Orden Lineal de la educación a distancia?)

Primer aviso de que

$$(y' \cos sx + s y \sin sx)' = y''\cos sx - sy' \sin x + s y' \sin sx + s^2 y \cos sx = \cos sx(y'' + s^2 y)$$

Por lo tanto $\displaystyle (y' \cos sx + s y \sin sx) = \int b\cos^2 sx + A$

Ahora $\displaystyle (y' \cos sx + s y \sin sx) = (\frac{y}{\cos sx})' \cos^2 sx$

Así $$ \frac{y}{\cos sx} = \int \sec^2 sx (\int b \cos^2 sx + A) + B$$

Para un método más general, también puede probar la transformada de Laplace (podría ser más fácil de llevar en los números complejos en primer lugar, como en D Lim de la respuesta).

El método en D Lim de la respuesta es lo que yo recomendaría la lectura de la primera, aunque.