Irreductiblemente de $x^5-x-1$ en $\mathbb{F}_3$

Question

Utilizando el polinomio linealizado afín $f(x)=x^p-x-b$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_q$ sólo si $\operatorname{Tr}_{\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p} \neq 0$ . Pero aquí $\mathbb{F}_3$ no es una extensión de campo de $\mathbb{F}_5$ .

También tenemos eso: Sea $a \in \mathbb{F}_q$ y que $p$ sea la característica de $\mathbb{F}_q$ . Entonces el trinomio $x^P - x - a$ es irreducible en $\mathbb{F}_q[x]$ si y sólo si no tiene raíz en $\mathbb{F}_q$ .

Answer 1

Es fácil ver que nuestro polinomio no tiene raíces de $\{1,-1,0\}$ y puesto que $x^2+1,$ $x^2+x-1$ y $x^2-x-1$ son polinomios irreducibles únicos de grado $2$ sigue siendo una comprobación fácil.

Answer 2

La forma más rápida de demostrar la irreductibilidad de $p(x)=x^5-x-1$ en $\Bbb{F}_3[x]$ que se me ocurre es la siguiente.

1. Todo el mundo empezó por comprobar que $p(x)$ no tiene raíces en $\Bbb{F}_3$ y, por tanto, no hay factores lineales.
2. Del mismo modo, los factores cuadráticos pueden descartarse comprobando que $p(x)$ no tiene raíces en $\Bbb{F}_9$ . Todos los elementos distintos de cero del campo de nueve elementos son ceros de $x^8-1=(x^4-1)(x^4+1)$ . Si $\beta\in \Bbb{F}_9$ es un cero de $x^4+1$ entonces $\beta^4=-1$ . Por lo tanto $\beta^5=-\beta$ y $$p(\beta)=\beta^5-\beta-1=-2\beta-1.$$ Para que sea igual a cero $\beta$ tendría que ser un elemento del campo primo. Pero esa posibilidad ya se descartó en el paso 1. Por otra parte, si $\beta$ es un cero de $x^4-1$ entonces $\beta^4=1$ . En consecuencia $\beta^5=\beta$ y $$p(\beta)=\beta^5-\beta-1=-1\neq0.$$
3. Si un polinomio de grado cinco no es irreducible, entonces tiene al menos un factor a lo sumo cuadrático. Hemos visto que $p(x)$ no tiene tales factores por lo que debe ser irreducible.

Answer 3

$x^5-x-1$ es efectivamente irreducible sobre $\mathbb{F}_3$ porque no tiene raíz ni factor cuadrático.

En cuanto a la primitividad, un recuento muestra que hay $\frac{\phi(3^5-1)}{5}=22$ polinomios primitivos mónicos de grado $5$ en $\mathbb{F}_3$ y $\frac{3^5-3}{5}=48$ polinomios irreducibles mónicos de grado $5$ en $\mathbb{F}_3$ . Quitando las obvias no primitivas, las posibilidades son buenas para $x^5-x-1$ ser primitivo.