Existencia de divisores de grado uno en una curva sobre un campo finito

Question

Dejemos que $C$ sea una curva proyectiva suave y geométricamente irreducible definida sobre un campo finito $\mathbb{F}_q$ . Dado un punto (teórico del esquema) $x \in C$ definir el grado de $x$ para ser el grado de la extensión $[k(x): \mathbb{F}_q]$ . El grado de un divisor en $C$ puede definirse así por linealidad.

Hoy hemos demostrado en mi clase de teoría algebraica de números que siempre hay un divisor de grado uno. El argumento consistía en suponer que todos los grados $[k(x): \mathbb{F}_q]$ fueran divisibles por algún $m >1$ y luego aplicar (una forma muy débil de) el teorema de la densidad de Cebotarev a la extensión de los campos de funciones $k(C) \to k(C) \otimes_{\mathbb{F}_q} \mathbb{F}_{q^m}$ . Todos los lugares tendrían que dividirse completamente si $\mathbb{F}_{q^m}$ está contenida en todo campo de residuos, lo cual es una contradicción.

También aprendí otra prueba de un comentario de Felipe Voloch sobre MO: para grandes $n$ el límite de Weil sobre el número de $\mathbb{F}_{q^n}$ -puntos racionales implica que hay un punto de grado $n$ y un punto de grado $n+1$ . Tomando la diferencia se obtiene un divisor de grado uno.

¿Existe una forma geométrica elemental de ver esto? (Pregunta relacionada: ¿Hay otros campos para los que esto sea cierto?)

Answer 1

Esta no es una prueba elemental, pero es un poco diferente a las otras mencionadas aquí:

El espacio de grado $1$ divisores en $C$ es un torsor sobre Jac $(C)$ y usted pide una prueba de que es el torsor trivial.

El espacio de estos torsores se calcula mediante $H^1(Gal(\overline{k}/k), \mathrm{Jac}(C))$ . Ahora bien, cuando $C$ es finito, el grupo de Galois absoluto es procíclico, generado por Frobenius, y existe un argumento de Lang que muestra para cualquier esquema de grupo conmutativo liso conectado $G$ en $k$ que $H^1(Gal(\overline{k}/k),G)$ desaparece en este caso.

En concreto, el endomorfismo $\mathrm{Frob} - 1$ de $G$ es sobreyectiva, porque es suave (toma su derivada, y usa el hecho de que la derivada del Frob desaparece), por lo tanto tiene imagen abierta (que también es cerrada, al ser un subgrupo) y $G$ está conectado.

Esto permite trivializar cualquier ciclo de 1.

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En su caso particular, deberíamos poder concretarlo: elegir un punto de $C$ definido sobre alguna extensión de $\mathbb F_q$ , digamos que $P$ entonces considera el divisor de grado cero $\mathrm{Frob}_q(P) - P$ . Aplicando el argumento de Lang a $\mathrm{Jac}(C)$ encontramos otro divisor de grado cero $D$ en $C$ (definido sobre alguna extensión de $\mathbb F_q$ ) tal que $\mathrm{Frob}_q(D) - D = \mathrm{Frob}_q (P) - P.$ Entonces $P - D$ es un divisor de grado uno que se fija por $\mathrm{Frob}_q$ y así se define sobre $\mathbb F_q$ .

Así que no hay realmente ninguna cohomología involucrada (no es que la cohomología de Galois anterior sea particularmente difícil), pero necesitas saber que los divisores de grado cero están parametrizados por un esquema de grupo suave conmutativo conectado (el jacobiano).

Edición: El argumento anterior muestra en realidad que existe un divisor de grado uno cuyo clase de equivalencia lineal se define sobre $\mathbb F_q$ . Se necesita un argumento adicional para obtener un divisor de grado uno definido sobre $\mathbb F_q$ . Se escriben las diversas secuencias exactas obvias que implican funciones no nulas, divisores principales, todos los divisores y Pic, y se toma la cohomología de Galois. Usando Hilbert Thm. 90 más la desaparición del grupo de Brauer $H^2(G_{\mathbb F_q}, \overline{\mathbb F}_q^{\times})$ se encuentra que una clase equiv. lineal invariante de Galois se eleva efectivamente a un divisor invariante.

Answer 2

Hay una prueba bastante elemental que se describe en el Ejercicio 6 aquí . El hecho en cuestión aparece como un paso en una demostración de la hipótesis de Riemann de Weil para las curvas. No sé si esto cuenta como "geométrico": tiene un sabor analítico, pero eso no es demasiado sorprendente ya que la prueba del profesor Rabinoff utilizaba la densidad de Cebotarev.

En cuanto a la pregunta relacionada, esto es bastante obvio para campos algebraicamente cerrados. Falla para $\mathbb{R}$ ya que hay cónicas como $x^2+y^2+z^2=0$ sin ningún punto racional. Me interesaría mucho ver una respuesta para campos globales y locales no arquimédicos.