¿Existe una función $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que cada no vacío abierto intervalo se asigna a $\mathbb{R}$?

Question

<blockquote> <p>¿Me gustaria saber si existe una función $f\colon\Bbb R\to\Bbb R$ con las siguientes características? cada dos números verdaderos $\alpha,\beta,\alpha\lt\beta$, $$\{f(x):x\in(\alpha,\beta)\}=\Bbb R</p> </blockquote> <p>No puedo decir que esta función no existe, tampoco se puede construir un ejemplo</p> <p>¡Muchas gracias!</p>

Answer 1

La función de 13 base de Conway es una tal función. De Wikipedia:

$f$ toma como su valor cada número verdadero en algún lugar dentro de cada intervalo abierto $(a,b)$.

La construcción de la función es un poco complicada. Consulte la página de la wiki para más detalles.

Answer 2

Creo que es más fácil definir uno de$(0,1)$$(0,1)$. Usted puede utilizar su favorito bijection para estirar cada uno de los ejes a $\Bbb R$. Express $x \in (0,1)$ base $3$, la elección de la expansión de la final en todas las $2$'s para los números que se iba a terminar. Si $x$ tiene un número infinito de $2$'s en la expansión, establezca $f(x)=x$ e ignorar el resto. Si $x$ tiene un número finito de $2$'s en la expansión, la multiplica por $3^k$, de modo que los dos últimos se encuentra a la izquierda de la ternario punto. La expansión es ahora todo lo $0$'s y $1$'s. Que se lea como un número binario y devolver ese valor. Para mostrar que toma todos los valores en un intervalo, deje a alguien dar un valor $y$ se debe tomar. Express $y$ en binario. Encontrar un intervalo de $(\frac {3m+2}{3^k},\frac {3m+3}{3^k})$ que se encuentra dentro del intervalo dado por algunos de los naturales se $m,k$. Express $\frac {3m+2}{3^k}$ ternario y anexar el archivo binario de $y$ a la derecha. Eso le dará un $x$ tal que $f(x)=y$ Esto necesita una ligera revisión, porque algunos números se asignan a $1$, lo cual está fuera del rango, por lo que se asignarán a las $0.5$ y hemos terminado.