Irreps de $S_3=GL(2,2)$ . ¿Quién es cuspidal?

Question

$S_3 = GL(2, F_2)$ . Tiene $3$ irreps - trivial, signo, estándar 2d.

¿Puede uno ayudarme a entender las palabras generales sobre los Irreps de $G(F_q)$ ("serie principal", "inducida parabólicamente", "cuspidal", "serie complementaria", "Steinberg irrep") en este ejemplo particular ? Quiero decir, ¿quién de estos irreps es quién?

Notas sobre el tema que estoy buscando:

Paul Garrett: http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/toy_GL2.pdf

Etingof&Students: http://arxiv.org/abs/0901.0827

Amritanshu Prasad http://www.imsc.res.in/~amri/html_notes/notes.html#notesch2.html

Answer 1

Aquí, el modelo estándar de la "serie principal" de Repn "parabólicamente inducida" (="serie principal") se acaba de dejar $P$ -invariante ( $P$ =superior-triangular) funciones en el grupo $G$ ya que sólo existe el carácter trivial en las cosas diagonales $M=\{1\}$ . Este representante es $|G|/|P|$ - dimensional, es decir.., $(3 \cdot 2)/2=3$ contiene el repn trivial, obviamente, y el complemento bidimensional es el "Steinberg", por denominación convencional. Evidentemente, el único "supercuspidal" (que significa suma de $0$ sobre el radical unipotente $N$ de $P$ ) es el "signo" repn. ¡Un resultado peculiar!