Es posible ' aproximado ' conjuntos compactos y convexos en $\ell^2$ en el cubo de Hilbert

Question

Definir $H=\{(x_n)_n\in\ell^2:|x_n|\le \frac1n, n\in\mathbf N\}\subset\ell^2$. Este conjunto es conocido como el cubo de Hilbert y es bien sabido que el $H$ es compacto, convexo y no vacío. Deje $\overline{\mathrm{conv}}(C)$ denotar el cierre del casco convexo de un subconjunto $C\subset\ell^2$.

Supongamos $S$ es no vacío, compacto, convexo subconjunto de $\ell^2$, es posible escribir$$S=\overline{\mathrm{conv}}\left(\bigcup_{n=1}^\infty[ S\cap(n\cdot H)]\right),$$ where (for $n\in\mathbf N$ fixed) $n\cdot H=\{n\cdot x:x\in H\}$.

Creo que es posible (ya que el cubo de Hilbert mantiene conseguir "más delgado" en cada coordenada), pero no sé cómo demostrarlo.

Answer 1

Tomar $S:={x}$, donde $x_k=\frac{\ln k}k$. Entonces $S\cap nH$ está vacía todos $n$, ya que si $S\cap nH\subset S$, el único candidato es $x$, y no podemos tener todas las $\ln k\leq n$ $k$.