Son raíces irracionales que ocurren en pares conjugados válidos solo para surds Binomiales

Question

Es bien sabido que si un polinomio tiene coeficientes racionales, entonces las raíces irracionales se producen en pares conjugados.

¿Será cierto para los surin trinomiales como, por ejemplo, si un polinomio tiene una raíz$\sqrt{2}+\sqrt{3}+1$ Entonces obtenemos un polinomio como

ps

$$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+1 Cuadrando ambos lados

ps

$$x-1=\sqrt{2}+\sqrt{3} nuevamente cuadrando obtenemos

$$x^2-2x+1=5+2\sqrt{6} será la otra raíz su factor de racionalización

Answer 1

Si uno encuentra el menor grado entero polinomio tener $c=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}$ como uno de sus raíces [cuando se establece a $0$], luego de que el polinomio $p(x)$ resulta grado $4.$ Ya que solo tiene grado $4$ sería de esperar que no todos los ocho posibles variaciones en $c$ obtenido por el cambio de $0$ o más de los signos de los tres radicales también será raíces de $p(x)=0,$ y, de hecho, uno puede comprobar que las cuatro raíces son $c$ sí (no hay sorpresa), junto con las otras tres raíces se obtiene a partir de a $c$ cambiando exactamente dos signos antes de los tres radicales.

Así que en general, si uno define un conjugado de un surd como cualquier cosa obtenida por el cambio de uno o más signos antes de que los radicales, los resultados pueden o no pueden ser ceros del polinomio generado a partir de la inicial de surd.

También busqué en el caso de $c'=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ en el mismo camino, esta vez, al menos de grado del polinomio $q(x)$ $c'$ resulta grado $8,$ y un cheque revela que aquí todo el ocho "conjugados" obtenidos a partir de $c'$ por el cambio de cero o más de los siguientes signos son raíces de $q(x)=0.$

Aunque no estoy muy en el tema, creo que el relevante cosa a tener en cuenta para esta pregunta es la Teoría de Galois.