Que $F$ sea un campo en el cual tenemos elementos satisfacción $a^2+b^2+c^2 = −1$. Mostrar que existen elementos satisfacción $d^2+e^2 = −1$.

Question

Que $F$ ser un campo en el cual tenemos elementos $a, b$y $c$ satisfacción $a^2+b^2+c^2 = −1$. Mostrar que existen elementos $d$ y $e$ $F$, $d^2+e^2 = −1$ de satisfacción.

¿Cualquier sugerencia?

Este es un ejercicio del libro: el álgebra lineal un principio graduado estudiante debe saber; Golán

Answer 1

% Toque $\ $deja $\ d=1\ $ $\,(a^2+b^2)(\overbrace{a^2+b^2+c^2+d^2}^{\large =\, 0})\, =\, (\overbrace{a^2+b^2}^{\large x})^2 + (\overbrace{ac-bd}^{\large y})^2 + (\overbrace{ad+bc}^{\large z})^2$

Que produce $\ x^2+y^2+z^2 = 0\ $ que, dividido por el $\,x^2,\,$ rendimientos el resultado.

Nota $\ $ los dos últimos sumandos marcas de verificación surgen de la identidad de Brahmagupta-Fibonacci