Encuentra el máximo común divisor de los polinomios $\ f(x)=x^{3}+2 \ \ and \ \ g(x)=x- 1 \ $ sobre el campo $\ \ \mathbb{Z}_{3}$

Question

Encuentra el máximo común divisor de los polinomios $\ f(x)=x^{3}+2 \ \ and \ \ g(x)=x- 1 \ $ sobre el campo $\ \ \mathbb{Z}_{3}$ . Tenemos $\ f(x)=x^{3}+2 \ \ and \ \ g(x)=x-1=x+2 \ \ \ mod \ (3) \ $ . Ahora $\ x^{3}+2=(x+2)(x^{2}-2x+4) \ =(x+2)(x^{2}+x+1)$ . (ya que -2=1 y 4=1 en $\ \mathbb{Z}_{3}$ ). Así que según yo el G.C.D =(x+2) . ¿Estoy en lo cierto? Cualquier ayuda por favor

Answer 1

Es más fácil si escribes $x^3+2=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ Así pues, resulta evidente que $x-1$ es un divisor, por lo tanto el máximo común divisor.

De todos modos, su cálculo es correcto, utilizando $x^3+2=x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$ .