Differentiability implica continuidad--posiblemente pedante pregunta acerca de la prueba común

Question

El común de la prueba de que la diferenciabilidad implica continuidad llega a este límite:

$$\lim_{x\to a} [f(x) - f(a)] = 0$$

Estoy fallando en ver el simple justificación para pasar al siguiente paso, que parece ser esencialmente esto:

$$\lim_{x\to a} f(x) - \lim_{x\to a} f(a) = 0$$

Intuitivamente, tiene sentido, y estoy seguro de que un épsilon-delta prueba puede ser amueblado. Pero como una cuestión de simple límite de las leyes (la resta de la ley en este caso), lo anterior presupone $\lim_{x\to a}f(x)$ existe, no? Curiosamente, los autores que utilizan esta prueba es importante en otros contextos para vencer a casa el hecho de que $\lim_{x\to a}f(x)$ existe, que lo hacen mediante el uso de la continuidad de f. En este caso, no podrá utilizar la continuidad de f, para la continuidad de f es precisamente lo que está en tela de juicio. Así que lo están utilizando?

Por cierto, entiendo que los pasos finales de la prueba:

$$\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} f(a)$$ $$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$$

Answer 1

Buena pregunta. Usted no sólo ser pedante-puede y debe asegurarse de que cada paso de la prueba es $100$% lógicamente sonido.

Ellos comienzan con la suposición de que $\lim\limits_{x\to a} [f(x) - f(a)]$ existe y es igual a $0$. A continuación, tenga en cuenta que $\lim\limits_{x \to a} f(a) = f(a)$ porque $f(a)$ es sólo una constante. Por otra parte, $$ f(x) = [f(x) - f(a)] + f(a) $$ Eso significa que por la suma de los límites que $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ existe, y $$ \lim_{x \a} f(x) = \lim_{x \a} [f(x) - f(a)] + \lim_{x \a} f(a) $$ así $$ \lim_{x \a} f(x) - \lim_{x \a} f(a) = 0. $$ Esta es una forma bastante común de observación por lo que la mayoría de las pruebas pueden acaba de pasar de la primera suposición directamente a la conclusión. De todos modos, el punto es que $f(a)$ es constante, de modo que parte del límite existe necesariamente.