Soluciones algebraicas a sistemas de ecuaciones polinómicas

Question

Dado un sistema racional de polinomios en un cierto número de variables con al menos una solución real, quiero demostrar que no existe una solución que es una tupla de números algebraicos. Me siento como este debe ser fácil de probar, pero no puedo determinar cómo. Podría alguien darme alguna ayuda?

He pasado un tiempo pensando acerca de este problema, y no puedo pensar en cualquier de los casos donde debe ser falsa. Sin embargo tengo absolutamente ninguna idea de cómo empezar a mostrar lo que es cierto, y yo no puedo dejar de pensar en él. Hay simples propiedades de los números algebraicos que implicaría esto? Yo no quiero a alguien para comprobarlo por mí, yo solo necesito a alguien que me apunte en la dirección de una prueba, o muéstrame cómo encontrar un contraejemplo si en realidad es falso (lo que sería muy sorprendente y poco esclarecedor). Si alguien sabe algo acerca de este problema estaría muy agradecido si me pudiera dar un poco de ayuda.

Answer 1

He aquí un pensamiento. Echemos un vistazo a la más simple no-trivial caso. Deje $P(x,y)$ ser un polinomio en dos variables con racional (lo que es equivalente, para nuestros propósitos, integer) los coeficientes, y un cero real.

Si el cero es aislado, a continuación, $P$ nunca es negativo (o nunca positivo) en un barrio de cero, de modo que la gráfica de $z=P(x,y)$ es tangente al plano $z=0$, por lo que las derivadas parciales $P_x$ $P_y$ se desvanecen en el cero, de modo que si se elimina $x$ de los parciales (por ejemplo, tomando la resultante) se obtiene un polinomio variable que se desvanece en el $y$-valor, por lo que el $y$-valor debe ser algebraicas, por lo que el $x$-valor debe ser algebraicas.

Si el cero no es aislado, a continuación, $P$ desaparece en algunos puntos cercanos con al menos uno de los algebraica (de hecho, racional) coordinar, pero ese punto debe entonces tener dos coordenadas algebraicas.

Mirando en el caso general, muchos de los polinomios en muchas variables, usted debería ser capaz de utilizar resultantes de llegar a un único polinomio y, a continuación, hacer una inducción sobre el número de variables --- ya hemos hecho en el caso base.