He intentado probar el Arzela-Ascoli teorema:
Deje $X$ ser un compacto Hausdorff espacio y deje $C(X)$ denotar el espacio de funciones continuas $f: X \to \mathbb R$ dotado con el sup norma $\|\cdot \|_\infty$. A continuación, $S \subseteq C(X)$ es relativamente compacto si y sólo si es pointwise delimitada y equicontinuous.
Podría alguien por favor me ayude a terminar mi prueba? Me parece que no puede hacerlo. Gracias de antemano por tu tiempo.
Prueba:
(esta dirección no causó problemas)
$\implies$: Vamos a $S\subseteq C(X)$ ser relativamente compacto. Desde $C(X)$ es un completo espacio métrico (un espacio de Banach, en realidad), podemos usar el hecho de que un conjunto es totalmente acotado si y sólo si a es relativamente compacto. Por lo tanto $S$ es totalmente acotado y por lo tanto limitada que implica pointwise limitada.
Queda demostrado que $S$ es equicontinuous. Para este fin, vamos a $\varepsilon > 0$. Desde $S$ es totalmente acotado puede ser cubierto por un número finito de $\varepsilon/3$ bolas. Deje $f_1, \dots , f_n$ denotar los centros de estas bolas. Desde $f \in C(X)$ son uniformemente continua, para cada $f_i$ existe un $\delta_i >0$ tal que $|x-y|<\delta_i$ implica $|f_i(x) - f_i(y)|<{\varepsilon \over 3}$. Deje $\delta = \min_i \delta_i$. A continuación, para $|x-y|<\delta$, $$ |f(x)-f(y)| \le |f(x) - f_i(x)| + |f_i(x) - f_i (y)| + |f_i(y) -f(y)| < \varepsilon$$ donde $f_i$ es tal que $f$ está contenida en el $\varepsilon/3$ la bola con el centro de la $f_i$.
Esta dirección es la causa del problema:
$\Longleftarrow$: Vamos a $S \subseteq C(X)$ ser equicontinuous y pointwise limitada. El objetivo es mostrar que la $\overline{S}$ es compacto. Por el sistema general de Heine-Borel teorema para la métrica de los espacios de un subconjunto de un espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado. Además, cerrado subconjuntos de completar métrica espacios se completa por lo que es suficiente para demostrar que $\overline{S}$ es totalmente acotado.
Para ello vamos a $\varepsilon > 0$. Desde $\overline{S}$ es equicontinuous existe $\delta > 0$ tal que $|x-y|<\delta$ implica $|f(x) - f(y) |< \varepsilon$. Desde $X$ es compacto puede ser cubierto por un número finito de $\delta$ bolas. Deje $x_1, \dots , x_n$ denotar los centros de estas bolas. Desde $\overline{S}$ es pointwise delimitadas para cada $x_i$ existe $K_i$ tal que $\sup_{f \in \overline{S}} |f(x_i)| \le K_i$.
Cómo construir la colección finita de $\varepsilon $ bolas que cubren $\overline{S}$?
