Yo estaba considerando la posibilidad de que el Operador $$ x\,\frac{\rm d}{{\rm d}x} $$ y aplicarlo $n$ veces a una función arbitraria $f(x)$. Hay una fórmula general para que?
Empecé con los primeros \begin{align} \left(x\,\frac{\rm d}{{\rm d}x}\right)^{1} f(x) &= x f' \\ \left(x\,\frac{\rm d}{{\rm d}x}\right)^{2} f(x) &= x f' + x^2 f'' \\ \left(x\,\frac{\rm d}{{\rm d}x}\right)^{3} f(x) &= x f' + 3x^2 f'' + x^3 f''' \\ \left(x\,\frac{\rm d}{{\rm d}x}\right)^{4} f(x) &= x f' + 7 x^2 f'' + 6x^3 f''' + x^4 f'''' \\ \vdots \end{align} pero no veo ningún patrón todavía. Obviamente el primer y el último coeficientes son siempre $1$.
Me imaginé que si empiezo con cualquier $n$ de la forma $$ \left(x\,\frac{\rm d}{{\rm d}x}\right)^{n} f(x) = \sum_{k=1}^n a_k \, x^k f^{(k)}(x) \etiqueta{1} $$ donde $a_1=a_n=1$, a continuación, de forma recursiva \begin{align} \left(x\,\frac{\rm d}{{\rm d}x}\right)^{n+1} f(x) &= xf^{(1)}(x) + \sum_{k=2}^n \left(k \, a_k + a_{k-1}\right) x^k f^{(k)}(x) + x^{n+1} f^{(n+1)}(x) \\ &= \sum_{k=1}^{n+1} \left(k \, a_k + a_{k-1}\right) x^k f^{(k)}(x) \tag{2} \end{align} donde $a_0=a_{n+1}=0$.
A partir de (1) y (2) obtenemos fija $k$ el acoplado de recurrencia $$ a_k(n+1) = k\, a_k(n) + a_{k-1}(n) $$ que se pueden poner en forma de matriz \begin{align} \begin{pmatrix} a_1(n+1) \\ a_2(n+1) \\ a_3(n+1) \\ \vdots \\ a_{n-1}(n+1) \\ a_n(n+1) \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & n-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1(n) \\ a_2(n) \\ a_3(n) \\ \vdots \\ a_{n-1}(n) \\ a_n(n) \end{pmatrix} \\ y=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & n-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & n \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, . \end{align} Así que, o yo soy muy tonto o no es evidente.
