¿La derivada distribucional coincide con la derivada clásica?

Question

Me cuesta entender el significado exacto de la siguiente afirmación: "si $f \in C^1 (\Omega)$ para algunos $\Omega \subset \mathbb R^n$ entonces la derivada distribucional de $f$ coincide con su derivada clásica". Sé que $f$ induce la siguiente distribución: $$ T_f (\phi) = \int f \phi , $$ donde la integral se toma sobre $\Omega$ $\phi \in \mathscr D (\Omega)$ es una función de prueba (supongo que $\mathbb R^n = \mathbb R$ para simplificar), y luego la derivada distribucional de $f$ puede representarse como $$ \frac{d}{dx} T_f (\phi) = - \int f \frac{d \phi}{dx} . $$ ¿Qué se entiende entonces por decir que la derivada clásica de $f$ es igual a su derivada distribucional? La integración por partes muestra que $$ \frac{d}{dx} T_f (\phi) = - \int f \frac{d \phi}{dx} = - \left( - \int \phi f' \right) = T_{\frac{df}{dx} } (\phi) , $$ por lo tanto $$ \frac{d}{dx} T_f (\phi) = T_{\frac{df}{dx} } (\phi) . $$ Dado que esta última ecuación es válida para toda función de prueba $\phi$ ¿se deduce entonces que ambos conceptos de derivada son equivalentes? Cualquier comentario será muy apreciado.

Answer 1

Como usted dice, ya que $\phi$ tiene un soporte compacto, la integración por partes da como resultado

$$\frac{d}{dx} T_f (\phi) = - \int f \frac{d \phi}{dx} = \int \phi \frac{df}{dx} = T_{\frac{df}{dx} } (\phi)$$

ya que no hay términos de frontera.

Ahora bien, si una distribución está representada por una función localmente integrable $g$ entonces esta función es única hasta conjuntos nulos por la regla lema fundamental del cálculo de variaciones . En efecto, si $\int g \phi = \int g' \phi$ para todos $\phi \in \mathcal{C}_0^{\infty}$ por ese lema $g - g' = 0$ hasta un conjunto nulo. Es decir, $g = g'$ casi en todas partes.

En particular, si esta función $g$ puede elegirse como continua, su representante continuo es único. Por lo tanto $\frac{d}{dx} T_f = T_{\frac{df}{dx}}$ como distribuciones. El caso de mayor dimensión sólo es más difícil notativamente. Por lo tanto, la diferenciabilidad en el sentido de las distribuciones generaliza la diferenciación clásica.