Correlación entre el recíproco de variables aleatoria lognormal

Question

Deje $X_1$ $X_2$ ser idénticamente distribuidas correlación logarítmica normal de las variables aleatorias:

$$X_1,X_2 \sim \ln \mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)$$

(de tal manera que sus registros se bivariante normal).

La correlación entre el $X_1$ $X_2$ está dada por:

$$\text{corr}(X_1,X_2) = \rho_X$$

Deje $Y_1$ $Y_2$ ser el reciprical de estas variables aleatorias:

$$Y_1 = \frac{1}{X_1}, Y_2 = \frac{1}{X_2}$$

A continuación, $Y_1$ $Y_2$ también se lognormally distribuidos de acuerdo a:

$$Y_1,Y_2 \sim \ln \mathcal{N}(-\mu_X,\sigma_X^2)$$

La correlación entre ellos está dado por $\rho_Y$:

$$\text{corr}(Y_1,Y_2) = \rho_Y$$

Puede una expresión para $\rho_Y$ ser escrito en términos de $\rho_X$?

Answer 1

Si se tienen dos variables, $Z_1$ $Z_2$ que son bivariante normal, entonces la correlación de dos correspondientes lognormals es una simple función de la correlación de la correspondiente normales y sus desviaciones estándar. Por ejemplo, mpiktas' respuesta a esta pregunta la da el resultado.

Ahora $-Z_1$ $-Z_2$ son bivariante normal con la misma desviación y correlación como $Z_1$$Z_2$, lo $Y_1=e^{-Z_1}$ $Y_2=e^{-Z_2}$ debe tener la misma correlación como $X_1=e^{Z_1}$ $X_2=e^{Z_2}$ do.