(1) Preguntas sobre funciones diferenciables

Question

1) el % de funciones $f$y $g$: $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ será 3 - veces diferenciable.
Calcular el $(f \cdot g)^{(3)}$.

1) $(f \cdot g)'=(f'g+fg')$

$(f'g+fg')'= (f''g+f'g')+(f'g'+fg'')= f''g+2f'g'+fg''$

$(f''g+2f'g'+fg'')'=(f'''g+f''g')+2(f''g'+f'g'')+(f'g''+fg''')$

$=f'''g+3(f''g'+f'g'')+fg'''=(f \cdot g)^{(3)}$

Hallazgo 2) una función f: $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, que es 2 - veces diferenciable en $\mathbb{R}$

2) $f(x)=x^2$
$f'(x)=2x$ y $f''(x)=2$

Son mis soluciones corrección o me hicieron algo. ¿mal?

Answer 1

Sí, de hecho, sus soluciones son correctas. Buen trabajo.

¿Se nota el patrón de que los términos y los coeficientes de $(fg), (fg)', (fg)'', (fg)'''$ seguir?

Hace triángulo de Pascal parece familiar?:

Véase el Teorema del Binomio y tenga en cuenta la correlación.

Answer 2

Su trabajo se ve bien. Ahora intenta demostrar que %#% $ #%

y

$$(f\cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$ Cualquier función polinómica es $(1)$ veces diferenciables, cualquier $m$ elegir.

$m$ La función $(2)$$$x^{m+1}\sin \left(\frac 1 x\right)$m $ is $x 0 $ times differentiable at $m % +1 $, but not $x = 0$.