el núcleo del mapa de evaluación

Question

Supongamos que $R$ es un anillo conmutativo con un elemento identidad multiplicativo. Fijar $a\in{R}$ y considerar el mapa de evaluación $e_{a} : R[x]\rightarrow{R}$ definido como ${e_{a}}(f(x))=f(a)$ . Si $(x-a)$ es el ideal principal generado por $x-a$ en $R[x]$ está claro que $(x-a)\subset \ker{e_{a}}$ . ¿Es siempre cierta la inclusión inversa? Se puede ver inmediatamente que se cumple por el teorema del factor si $R$ es un campo.

Este es el Ejercicio 47 en el libro de J.J. Rotman Teoría de Galois (Segunda Edición), pero no estoy seguro de si $\ker{e_{a}}=(x-a)$ es verdadera en un anillo arbitrario. Gracias.

Answer 1

Por el teorema del resto, si $a \in R$ y $f \in R[x]$ con $f \in \ker(e_a)$ (es decir $f(a) = 0$ ), entonces $f(x) = q(x)(x - a) + f(a) = q(x)(x-a)$ para algunos $q \in R[x]$ . Pero entonces $(x-a) \mid f(x)$ lo que implica que $f \in \langle x-a \rangle$ . Por lo tanto $\ker(e_a) \subseteq \langle x-a \rangle$ .

Obsérvese que el teorema del resto se basa en $R$ que tiene unidad y que el coeficiente principal de $x-a$ es una unidad.

Answer 2

Ciertamente $ker e_a$ es un ideal en $R[x]$ que contiene $x-a$ . El hecho de que este ideal sea igual a $(x-a)$ en $R[x]$ si $R$ es un campo depende del algoritmo de división que luego da el teorema del factor.

Sin embargo, el algoritmo de división funciona cuando el coeficiente inicial del divisor es una unidad. (Imagínese la división polinómica de $b(x)$ por $a(x)$ donde hay que renormalizar el coeficiente principal de $a(x)$ para poder anular el término del que queremos "deshacernos"). Entonces, por la prueba normal se deduce que $(x-a) = \ker e_a$ .

Relacionado:

Algoritmo de división para polinomios en R[x], donde R es un anillo conmutativo con unidad.

En general, ¿cuándo un anillo tiene un algoritmo de división?