¡Me pregunto si puede haber números (en alguna teoría extendida) para los que todos los reales sean menores o mayores que este número, pero ningún número real sea igual a ese número !
¿Existe alguna extensión del número que lo permita? Bajo qué condiciones (axioma, etc.) no existe tal número.
Bajo los axiomas de los números reales esto no puede ocurrir. Hay que sumar nuevo a los números reales, observe que si $\varepsilon$ es menor que todos los $\frac1n$ pero sigue siendo positivo entonces $\frac1\varepsilon$ es mayor que cualquier número real.
Tal $\varepsilon$ se llama infinitesimal y su existencia es incompatible con los números reales per se. Sin embargo, existe una rama, denominada análisis no estándar, en la que estos números desempeñan un papel importante.
Un ejemplo de este campo es el denominado Números hiperreales .
Quiere un campo ordenado "no arquimediano". Algunos ejemplos son los hiperreales y los surreales. Mi favorito: la transerie (G. A. Edgar, "Transseries for Beginners," http://www.math.ohio-state.edu/~edgar/preprints/trans_begin/ ). Prueba también los números Levi-Civita: http://en.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita_field . Ver aquí http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal para ver muchos ejemplos.
Considere el campo $\mathbb{R}(x)$ de todas las funciones racionales (formales) en una variable con coeficientes reales. Aunque no se trata de un campo ordenado, es un puede solicitarse en es posible definir una ordenación $<$ sobre funciones racionales que es consistente con las leyes usuales de la aritmética.
Para cualquier pedido $<$ de $\mathbb{R}(x)$ podemos definir conjuntos $L = \{ a \in \mathbb{R} \mid a < x\}$ y $R = \{ a \in \mathbb{R} \mid a > x\}$ y tenemos $\mathbb{R} = L \cup R$ -- bajo este ordenamiento, cada número real es menor o mayor que el polinomio $x$ .
Resulta que la ordenación $<$ está completamente determinada por $L$ y $R$ y, a la inversa, cada forma de elegir $L$ y $R$ corresponde a una ordenación de $\mathbb{R}(x)$ .
La lista completa de pedidos es:
Las etiquetas que he elegido para las ordenaciones se refieren a "dónde" $x$ se coloca en relación con la línea real.
Algunas buenas palabras de moda relacionadas con este tipo de temas son:
Hay una forma fácil de escribir una teoría de primer orden cuyos modelos sean ejemplos del tipo de sistema numérico que pides. Por ejemplo,
Cada modelo de esta teoría tendrá un número $\varepsilon$ con la propiedad de que es mayor que todo número real no positivo y menor que todo número real positivo.
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