¿Cohomología de grupos de mentira finito dimensional?

Question

Que $G$ ser un grupo de mentira conectado, sin ninguna suposición más. ¿Es verdad, que su anillo de cohomología racional $$H^\bullet(G,\mathbb Q)$ $ es finito dimensional? ¿$G$ Homotopía es equivalente a un grupo de mentira compacto?

Answer 1

Ambas preguntas tienen la respuesta de "sí". Por supuesto, una respuesta de "sí" a la segunda debe implicar y respuesta de "sí" a la primera porque cada compacto colector tiene un finitely generado cohomology anillo.

Así que, ¿por qué es $G$ homotopy equivalente a la de un compacto de Lie del grupo? De hecho, más es cierto. Tenemos el siguiente teorema (ver wiki para obtener más información):

Supongamos $G$ está conectado a un subgrupo. Entonces, existe una máxima compacto subgrupo $K\subseteq G$. Además, todos estos máxima compacto subgrupos son conjugado y $G$ es diffeomorphic a $K\times \mathbb{R}^n$ algunos $n$.

(Tenga en cuenta que mientras que $G$ es diffeomorphic a $K\times\mathbb{R}^n$, $G$ sólo rara vez se isomorfo (como un grupo) a un producto de $K$$\mathbb{R}^n$.)

Por último, simplemente tenga en cuenta que $K\times\mathbb{R}^n$ obviamente deformación se retrae en $K$.