¿Es estable la función de las ondas de electrones libres?

Question

La función de onda de los electrones libres se describe como una onda plana o un paquete de ondas. Estoy bastante contento con el paquete de ondas, ya que está localizado.

Pero si cambiamos al marco de reposo del electrón, entonces no hay dirección de movimiento, y por lo tanto la función de onda debe ser isotrópica, presumiblemente como un paquete de ondas gaussiano.

Sin embargo, el paquete de ondas supuestamente se expande con el tiempo en el espacio real, permitiendo que caiga en energía en el espacio de impulso.

¿Significa esto que la función de la onda de electrón libre no es estable? En su propio marco, ¿se expandirá simplemente ad infinitum hasta que interactúe con otra partícula?

Si el electrón puede continuar expandiéndose arbitrariamente, entonces la probabilidad de que retenga su momento original se hace cada vez más pequeña, lo que negaría la conservación del momento para cualquier partícula libre con una longitud de trayectoria significativa.

Answer 1

Hans de Vries[1] ya ha respondido maravillosamente, pero me gustaría añadir un poco de énfasis:

¿Es estable la función de la onda de electrones? No, nunca. En el espacio libre siempre se propaga.

Y como Hans de Vries señaló, los componentes del impulso no cambian. Es decir, simplemente haciendo la función de onda más grande en el espacio xyz hace no automáticamente implican una mayor precisión de sus componentes de impulso de Fourier en el espacio de impulso. Sólo crea un conjunto diferente de relaciones de fase entre ellos. (Solía ponderar este mismo punto.) Schrodinger una vez esperó que se pudieran crear paquetes estables, pero fue firmemente abofeteado por uno de sus mentores más clásicos (olvido cuál).

Para mí, esta simple simetría incompleta entre las funciones de las ondas espaciales y de impulso es absolutamente fascinante. Es tan simple y tan "casi" simétrica, excepto por una diferencia especialmente crítica. Es la misma diferencia que mantiene las funciones de onda compactas en el espacio de impulso mientras que deja que el equivalente de Fourier de la función de onda en el espacio xyz ordinario se extienda sin límite: la expansión de la longitud en el espacio de impulso requiere energía, mientras que la expansión de la longitud en el espacio xyz no la requiere. Ahí yace un cuento muy interesante que a medida que crece termina abarcando la mayor parte de la mecánica cuántica.

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Answer 2

Las magnitudes de la espacial $~$ El espectro de Fourier (el espacio de impulso) de un campo libre localizado que se extiende no cambia con el tiempo. Los componentes del impulso permanecen iguales en el tiempo, excepto por su fase.

La evolución temporal de cada componente del impulso es, por supuesto, simple: $e^{-i \sqrt {p^2+m^2}}t$

Esto puede parecer contrario a las reglas de escala de transformación de Fourier para un Gaussiano, pero el paquete de ondas que se extiende no es un Gaussiano. Los bordes de propagación muestran un frente de onda que indica el momento en que se propagan. Es la magnitud $ \varphi ^* \varphi $ del campo que es gaussiano, el campo $ \varphi $ sin embargo, no lo es.

Ver por ejemplo la figura 9.8 aquí (En el capítulo de mi libro que trata de la ecuación de Klein Gordon) http://physics-quest.org/Book_Chapter_Klein_Gordon.pdf La imagen muestra los componentes reales e imaginarios del campo de dispersión, así como la envoltura.

Hans