Que $A$ $B$ ser dos subconjuntos de $\mathbb{C}^n$:
$ A = \mathbb{Z}^n$ y $B={ (z_1,z_2, \dots , z_n) \in A \text{ such that } z_1>z_2>\cdots> z_n}$.
¿Mis preguntas: son estos dos subconjuntos Zariski denso en $\mathbb{C}^n$? ¡Muchas gracias!
Respuestas
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En el siguiente yo no distinguir entre los polinomios de una de sus funciones asociadas ${\mathbb C}^n\to{\mathbb C}$ - que bien, ya estamos en el carácter $0$.
Reclamo: Supongamos $f\in{\mathbb C}[x_1,...,x_n]$ se desvanece en $A$. A continuación,$f=0$.
Prueba: Escribir $f = \sum_i g_i x_n^i$$g_i\in{\mathbb C}[x_1,...,x_{n-1}]$. Entonces, dado cualquier $a_1,...,a_{n-1}\in{\mathbb Z}$, $f(a_1,...,a_{n-1})\in{\mathbb C}[x_n]$ es un polinomio con una infinidad de ceros, por lo tanto el polinomio cero. Por lo tanto, $g_i(a_1,...,a_{n-1})=0$ todos los $a_1,...,a_{n-1}\in{\mathbb Z}$, y por inducción, cada una de las $g_i$ es el polinomio cero.
Reclamo: Supongamos $f\in{\mathbb C}[x_1,...,x_n]$ se desvanece en $B$. A continuación,$f=0$.
Prueba: Consideremos $\varphi: {\mathbb C}^n\to{\mathbb C}^n$ definido por $$\varphi(z_1,...,z_n) := (z_1,z_1-z_2^2-1,z_1-z_2^2-z_3^2-2,...,z_1-z_2^2-...-z_n^2-n+1).$$ Then $\varphi$ is surjective and maps $$ into $B$. Hence, by what we have just seen, $f\circ\varphi$ is a polynomial function vanishing on $$, hence $f\circ\varphi=0$, hence $f=0$ by surjectivity of $\varphi$.
orangeskid
Puntos
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Sí, lo son.
Algunos datos generales que se encargará de la respuesta:
Un conjunto $A$ de forma $A= A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n$ es Zariski denso si todos los de la $A_i$ son infinitas. Que se ocupa de la $\mathbb{Z}^n$.
Un nonvoid conjunto abierto en el estándar de la topología de Zariski densa. Esto es debido a que contiene un abierto cube $S \times S \times \ldots \times S$ y aplicar el resultado anterior. Que se encargará de su segundo set.
$\bf{Added:}$
No entendí la declaración, $B$ es un subconjunto de a $\mathbb{Z}^n$. Sí, todavía es Zariski densa. Considere la posibilidad de $\mathbb{N}_{>0}^n$. Este es Zariski densa. Ahora bien, debemos notar que la imagen en un Zariski subconjunto denso en virtud de un lineal bijection es de nuevo Zariski densa. Por lo tanto el conjunto $$\{ (a_1, a_1 + a_2, \ldots, a_1 + a_2 + \ldots + a_n )\ | a_i \in \mathbb{N}_{>0} \}$$ es Zariski densa.
Invertir el orden de las coordenadas y obtener un Zariski subconjunto denso contenido en $B$.
